Theorem enfi 7059

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7025	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2533	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 6933	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 6933	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088   omcom 4688   ~~ cen 6906   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  enfii  7060  findcard2  7077  findcard2s  7078  en1hash  11061  hash2en  11106  pwf1oexmid  16600