Theorem enfi 6851

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 6818	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2471	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 6739	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 6739	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 222	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   omcom 4574   ~~ cen 6716   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  enfii  6852  findcard2  6867  findcard2s  6868  pwf1oexmid  14032