Theorem enfi 7103

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7069	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2534	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 6977	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 6977	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   omcom 4694   ~~ cen 6950   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  enfii  7104  findcard2  7121  findcard2s  7122  en1hash  11125  hash2en  11170  pwf1oexmid  16721