ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enfi Unicode version

Theorem enfi 6867
Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
enfi  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem enfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen1 6834 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
21rexbidv 2478 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
3 isfi 6755 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 6755 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
52, 3, 43bitr4g 223 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4000   omcom 4586    ~~ cen 6732   Fincfn 6734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737
This theorem is referenced by:  enfii  6868  findcard2  6883  findcard2s  6884  pwf1oexmid  14398
  Copyright terms: Public domain W3C validator