ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enfi Unicode version

Theorem enfi 6519
Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
enfi  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem enfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen1 6486 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
21rexbidv 2375 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
3 isfi 6408 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 6408 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
52, 3, 43bitr4g 221 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3811   omcom 4368    ~~ cen 6385   Fincfn 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390
This theorem is referenced by:  enfii  6520  findcard2  6535  findcard2s  6536
  Copyright terms: Public domain W3C validator