Theorem nnfi 6542

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6435	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 3826	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2715	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 412	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 6432	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 132	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1436   E.wrex 2356   class class class wbr 3822   omcom 4380   ~~ cen 6409   Fincfn 6411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-en 6412  df-fin 6414

This theorem is referenced by:  dif1en  6549  0fin  6554  findcard2  6559  findcard2s  6560  diffisn  6563  en1eqsn  6609  fzfig  9768  hashennnuni  10087  hashennn  10088  hashun  10113  hashp1i  10118