Theorem nnfi 6518

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6411	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 3815	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2712	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 412	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 6408	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 132	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3811   omcom 4368   ~~ cen 6385   Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-en 6388  df-fin 6390

This theorem is referenced by:  dif1en  6525  0fin  6530  findcard2  6535  findcard2s  6536  diffisn  6539  en1eqsn  6581  fzfig  9726  hashennnuni  10022  hashennn  10023  hashun  10048  hashp1i  10053