Theorem nnfi 7180

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 7056	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 4135	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 425	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 7053	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   omcom 4739   ~~ cen 7026   Fincfn 7028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7029  df-fin 7031

This theorem is used by:  dif1en  7189  0fi  7194  findcard2  7199  findcard2s  7200  diffisn  7203  pw1fin  7223  en1eqsn  7272  fipwfi  7327  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoimlemginf  7522  exmidonfinlem  7551  fzfig  10887  hashennnuni  11239  hashennn  11240  en1hash  11260  hashun  11266  hashp1i  11272  hashpwfi  11290  hash2en  11316  unct  13390  xpsfrnel  13723  znidom  15100  znidomb  15101  upgrfi  16565  pw1ninf  17243  pwf1oexmid  17251