Theorem nnfi 6928

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6818	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 4033	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2864	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 421	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 6815	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   omcom 4622   ~~ cen 6792   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  dif1en  6935  0fin  6940  findcard2  6945  findcard2s  6946  diffisn  6949  pw1fin  6966  en1eqsn  7007  nninfwlpoimlemg  7234  nninfwlpoimlemginf  7235  exmidonfinlem  7253  fzfig  10501  hashennnuni  10850  hashennn  10851  hashun  10876  hashp1i  10881  unct  12599  xpsfrnel  12927  znidom  14145  znidomb  14146  pwf1oexmid  15490