Theorem nnfi 7034

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6915	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 4087	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2907	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 421	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 6912	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   omcom 4682   ~~ cen 6885   Fincfn 6887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-en 6888  df-fin 6890

This theorem is referenced by:  dif1en  7041  0fin  7046  findcard2  7051  findcard2s  7052  diffisn  7055  pw1fin  7072  en1eqsn  7115  nninfwlpoimlemg  7342  nninfwlpoimlemginf  7343  exmidonfinlem  7371  fzfig  10652  hashennnuni  11001  hashennn  11002  hashun  11027  hashp1i  11032  hash2en  11065  unct  13013  xpsfrnel  13377  znidom  14621  znidomb  14622  upgrfi  15902  pwf1oexmid  16365