Theorem nnfi 7129

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 7005	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 4115	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2923	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 421	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 7002	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4111   omcom 4714   ~~ cen 6975   Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  dif1en  7138  0fi  7143  findcard2  7148  findcard2s  7149  diffisn  7152  pw1fin  7172  en1eqsn  7220  fipwfi  7274  nninfwlpoimlemg  7468  nninfwlpoimlemginf  7469  exmidonfinlem  7498  fzfig  10796  hashennnuni  11146  hashennn  11147  en1hash  11167  hashun  11173  hashp1i  11179  hashpwfi  11197  hash2en  11219  unct  13210  xpsfrnel  13574  znidom  14822  znidomb  14823  upgrfi  16114  pw1ninf  16782  pwf1oexmid  16790