Theorem nnfi 6899

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6789	. . 3 |- ( A e. om -> A ~~ A )
2		breq2 4022	. . . 4 |- ( x = A -> ( A ~~ x <-> A ~~ A ) )
3	2	rspcev 2856	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A ~~ A ) -> E. x e. om A ~~ x )
4	1, 3	mpdan 421	. 2 |- ( A e. om -> E. x e. om A ~~ x )
5		isfi 6786	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018   omcom 4607   ~~ cen 6763   Fincfn 6765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-en 6766  df-fin 6768

This theorem is referenced by:  dif1en  6906  0fin  6911  findcard2  6916  findcard2s  6917  diffisn  6920  pw1fin  6937  en1eqsn  6976  nninfwlpoimlemg  7202  nninfwlpoimlemginf  7203  exmidonfinlem  7221  fzfig  10460  hashennnuni  10790  hashennn  10791  hashun  10816  hashp1i  10821  unct  12492  xpsfrnel  12817  pwf1oexmid  15203