Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwf1oexmid Unicode version

Theorem pwf1oexmid 13365
 Description: An exercise related to copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pwle2.t
Assertion
Ref Expression
pwf1oexmid EXMID
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem pwf1oexmid
StepHypRef Expression
1 pwle2.t . . . . . 6
21pwle2 13364 . . . . 5
32adantr 274 . . . 4
4 pw1dom2 13359 . . . . . 6
5 iunxpconst 4606 . . . . . . . . . . . 12
6 df1o2 6333 . . . . . . . . . . . . 13
76xpeq2i 4567 . . . . . . . . . . . 12
81, 5, 73eqtri 2165 . . . . . . . . . . 11
9 peano1 4515 . . . . . . . . . . . 12
10 xpsneng 6723 . . . . . . . . . . . 12
119, 10mpan2 422 . . . . . . . . . . 11
128, 11eqbrtrid 3970 . . . . . . . . . 10
1312ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
1413ensymd 6684 . . . . . . . 8
15 relen 6645 . . . . . . . . . 10
16 brrelex1 4585 . . . . . . . . . 10
1715, 13, 16sylancr 411 . . . . . . . . 9
18 simplr 520 . . . . . . . . . 10
19 simpr 109 . . . . . . . . . 10
20 dff1o5 5383 . . . . . . . . . 10
2118, 19, 20sylanbrc 414 . . . . . . . . 9
22 f1oeng 6658 . . . . . . . . 9
2317, 21, 22syl2anc 409 . . . . . . . 8
24 entr 6685 . . . . . . . 8
2514, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . 7
2625ensymd 6684 . . . . . 6
27 domentr 6692 . . . . . 6
284, 26, 27sylancr 411 . . . . 5
29 2onn 6424 . . . . . . 7
30 nndomo 6765 . . . . . . 7
3129, 30mpan 421 . . . . . 6
3231ad2antrr 480 . . . . 5
3328, 32mpbid 146 . . . 4
343, 33eqssd 3118 . . 3
3526, 34breqtrd 3961 . . . 4
36 exmidpw 6809 . . . 4 EXMID
3735, 36sylibr 133 . . 3 EXMID
3834, 37jca 304 . 2 EXMID
39 simplr 520 . . . . 5 EXMID
4012ad2antrr 480 . . . . . . . 8 EXMID
41 simprl 521 . . . . . . . 8 EXMID
4240, 41breqtrd 3961 . . . . . . 7 EXMID
43 simprr 522 . . . . . . . . 9 EXMID EXMID
4443, 36sylib 121 . . . . . . . 8 EXMID
4544ensymd 6684 . . . . . . 7 EXMID
46 entr 6685 . . . . . . 7
4742, 45, 46syl2anc 409 . . . . . 6 EXMID
48 nnfi 6773 . . . . . . . 8
4929, 48mp1i 10 . . . . . . 7 EXMID
50 enfi 6774 . . . . . . . 8
5144, 50syl 14 . . . . . . 7 EXMID
5249, 51mpbird 166 . . . . . 6 EXMID
53 f1finf1o 6842 . . . . . 6
5447, 52, 53syl2anc 409 . . . . 5 EXMID
5539, 54mpbid 146 . . . 4 EXMID
5655, 20sylib 121 . . 3 EXMID
5756simprd 113 . 2 EXMID
5838, 57impbida 586 1 EXMID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  cvv 2689   wss 3075  c0 3367  cpw 3514  csn 3531  ciun 3820   class class class wbr 3936  EXMIDwem 4125  com 4511   cxp 4544   crn 4547   wrel 4551  wf1 5127  wf1o 5129  c1o 6313  c2o 6314   cen 6639   cdom 6640  cfn 6641 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-exmid 4126  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1o 6320  df-2o 6321  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator