Theorem enfi 7128

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7093	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐵 ≈ 𝑥))
2	1	rexbidv 2543	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
3		isfi 7000	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4		isfi 7000	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4109  ωcom 4712   ≈ cen 6973  Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  enfii  7129  findcard2  7146  findcard2s  7147  en1hash  11163  hash2en  11215  pwf1oexmid  16773