Theorem ensymb 7057

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	|- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7056	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ersymb 6811	. 2 |- ( T. -> ( A ~~ B <-> B ~~ A ) )
4	3	mptru 1411	1 |- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Syntax hints:   <-> wb 105   T. wtru 1403   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   Er wer 6794   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-er 6797  df-en 7013

This theorem is referenced by:  ensym  7058  php5  7149  snnen2og  7150  snnen2oprc  7151  phpeqd  7233  ficardon  7524  umgrislfupgrenlem  16285  umgrislfupgrdom  16286