Theorem ensymb 6922

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	|- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6921	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ersymb 6684	. 2 |- ( T. -> ( A ~~ B <-> B ~~ A ) )
4	3	mptru 1404	1 |- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Syntax hints:   <-> wb 105   T. wtru 1396   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   Er wer 6667   ~~ cen 6875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-er 6670  df-en 6878

This theorem is referenced by:  ensym  6923  php5  7007  snnen2og  7008  snnen2oprc  7009  phpeqd  7085  ficardon  7349  umgrislfupgrenlem  15913  umgrislfupgrdom  15914