ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener Unicode version

Theorem ener 6726
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener  |-  ~~  Er  _V

Proof of Theorem ener
Dummy variables  f  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6691 . . . 4  |-  Rel  ~~
21a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  ~~  )
3 bren 6694 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> y )
4 f1ocnv 5429 . . . . . . 7  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  `' f : y -1-1-onto-> x )
5 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
6 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
7 f1oen2g 6702 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  `' f : y -1-1-onto-> x )  ->  y  ~~  x )
85, 6, 7mp3an12 1309 . . . . . . 7  |-  ( `' f : y -1-1-onto-> x  -> 
y  ~~  x )
94, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x )
109exlimiv 1578 . . . . 5  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x
)
113, 10sylbi 120 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
1211adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  ~~  y )  ->  y  ~~  x )
13 bren 6694 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. g 
g : x -1-1-onto-> y )
14 bren 6694 . . . . 5  |-  ( y 
~~  z  <->  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )
15 eeanv 1912 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  <->  ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f  f : y -1-1-onto-> z ) )
16 f1oco 5439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : y -1-1-onto-> z  /\  g : x -1-1-onto-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
1716ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
18 vex 2715 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 f1oen2g 6702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
206, 18, 19mp3an12 1309 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z  ->  x  ~~  z )
2117, 20syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2221exlimivv 1876 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2315, 22sylbir 134 . . . . 5  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z
)
2413, 14, 23syl2anb 289 . . . 4  |-  ( ( x  ~~  y  /\  y  ~~  z )  ->  x  ~~  z )
2524adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x 
~~  y  /\  y  ~~  z ) )  ->  x  ~~  z )
266enref 6712 . . . . 5  |-  x  ~~  x
276, 262th 173 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  <->  x  ~~  x )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  _V  <->  x 
~~  x ) )
292, 12, 25, 28iserd 6508 . 2  |-  ( T. 
->  ~~  Er  _V )
3029mptru 1344 1  |-  ~~  Er  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104   T. wtru 1336   E.wex 1472    e. wcel 2128   _Vcvv 2712   class class class wbr 3967   `'ccnv 4587    o. ccom 4592   Rel wrel 4593   -1-1-onto->wf1o 5171    Er wer 6479    ~~ cen 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-er 6482  df-en 6688
This theorem is referenced by:  ensymb  6727  entr  6731
  Copyright terms: Public domain W3C validator