Theorem ener 7056

Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ener	|- ~~ Er _V

Proof of Theorem ener

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7016	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~~ )
3		bren 7020	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
4		f1ocnv 5647	. . . . . . 7 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> `' f : y -1-1-onto-> x )
5		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6		vex 2824	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7		f1oen2g 7031	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ `' f : y -1-1-onto-> x ) -> y ~~ x )
8	5, 6, 7	mp3an12 1368	. . . . . . 7 |- ( `' f : y -1-1-onto-> x -> y ~~ x )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
10	9	exlimiv 1651	. . . . 5 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
11	3, 10	sylbi 121	. . . 4 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
12	11	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x ~~ y ) -> y ~~ x )
13		bren 7020	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. g g : x -1-1-onto-> y )
14		bren 7020	. . . . 5 |- ( y ~~ z <-> E. f f : y -1-1-onto-> z )
15		eeanv 1992	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) )
16		f1oco 5657	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : y -1-1-onto-> z /\ g : x -1-1-onto-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
18		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		f1oen2g 7031	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
20	6, 18, 19	mp3an12 1368	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z -> x ~~ z )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
22	21	exlimivv 1952	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
23	15, 22	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
24	13, 14, 23	syl2anb 291	. . . 4 |- ( ( x ~~ y /\ y ~~ z ) -> x ~~ z )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ~~ y /\ y ~~ z ) ) -> x ~~ z )
26	6	enref 7041	. . . . 5 |- x ~~ x
27	6, 26	2th 174	. . . 4 |- ( x e. _V <-> x ~~ x )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. _V <-> x ~~ x ) )
29	2, 12, 25, 28	iserd 6823	. 2 |- ( T. -> ~~ Er _V )
30	29	mptru 1411	1 |- ~~ Er _V

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   T. wtru 1403   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   o. ccom 4773   Rel wrel 4774   -1-1-onto->wf1o 5371   Er wer 6794   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-er 6797  df-en 7013

This theorem is referenced by:  ensymb  7057  entr  7061