Theorem ener 6779

Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ener	|- ~~ Er _V

Proof of Theorem ener

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6744	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~~ )
3		bren 6747	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
4		f1ocnv 5475	. . . . . . 7 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> `' f : y -1-1-onto-> x )
5		vex 2741	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6		vex 2741	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7		f1oen2g 6755	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ `' f : y -1-1-onto-> x ) -> y ~~ x )
8	5, 6, 7	mp3an12 1327	. . . . . . 7 |- ( `' f : y -1-1-onto-> x -> y ~~ x )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
10	9	exlimiv 1598	. . . . 5 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
11	3, 10	sylbi 121	. . . 4 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
12	11	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x ~~ y ) -> y ~~ x )
13		bren 6747	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. g g : x -1-1-onto-> y )
14		bren 6747	. . . . 5 |- ( y ~~ z <-> E. f f : y -1-1-onto-> z )
15		eeanv 1932	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) )
16		f1oco 5485	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : y -1-1-onto-> z /\ g : x -1-1-onto-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
18		vex 2741	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		f1oen2g 6755	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
20	6, 18, 19	mp3an12 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z -> x ~~ z )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
22	21	exlimivv 1896	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
23	15, 22	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
24	13, 14, 23	syl2anb 291	. . . 4 |- ( ( x ~~ y /\ y ~~ z ) -> x ~~ z )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ~~ y /\ y ~~ z ) ) -> x ~~ z )
26	6	enref 6765	. . . . 5 |- x ~~ x
27	6, 26	2th 174	. . . 4 |- ( x e. _V <-> x ~~ x )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. _V <-> x ~~ x ) )
29	2, 12, 25, 28	iserd 6561	. 2 |- ( T. -> ~~ Er _V )
30	29	mptru 1362	1 |- ~~ Er _V

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   T. wtru 1354   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   `'ccnv 4626   o. ccom 4631   Rel wrel 4632   -1-1-onto->wf1o 5216   Er wer 6532   ~~ cen 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-er 6535  df-en 6741

This theorem is referenced by:  ensymb  6780  entr  6784