ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener Unicode version

Theorem ener 6476
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener  |-  ~~  Er  _V

Proof of Theorem ener
Dummy variables  f  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6441 . . . 4  |-  Rel  ~~
21a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  ~~  )
3 bren 6444 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> y )
4 f1ocnv 5250 . . . . . . 7  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  `' f : y -1-1-onto-> x )
5 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
6 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
7 f1oen2g 6452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  `' f : y -1-1-onto-> x )  ->  y  ~~  x )
85, 6, 7mp3an12 1263 . . . . . . 7  |-  ( `' f : y -1-1-onto-> x  -> 
y  ~~  x )
94, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x )
109exlimiv 1534 . . . . 5  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x
)
113, 10sylbi 119 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
1211adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  ~~  y )  ->  y  ~~  x )
13 bren 6444 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. g 
g : x -1-1-onto-> y )
14 bren 6444 . . . . 5  |-  ( y 
~~  z  <->  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )
15 eeanv 1855 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  <->  ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f  f : y -1-1-onto-> z ) )
16 f1oco 5260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : y -1-1-onto-> z  /\  g : x -1-1-onto-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
1716ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
18 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 f1oen2g 6452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
206, 18, 19mp3an12 1263 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z  ->  x  ~~  z )
2117, 20syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2221exlimivv 1824 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2315, 22sylbir 133 . . . . 5  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z
)
2413, 14, 23syl2anb 285 . . . 4  |-  ( ( x  ~~  y  /\  y  ~~  z )  ->  x  ~~  z )
2524adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x 
~~  y  /\  y  ~~  z ) )  ->  x  ~~  z )
266enref 6462 . . . . 5  |-  x  ~~  x
276, 262th 172 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  <->  x  ~~  x )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  _V  <->  x 
~~  x ) )
292, 12, 25, 28iserd 6298 . 2  |-  ( T. 
->  ~~  Er  _V )
3029mptru 1298 1  |-  ~~  Er  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103   T. wtru 1290   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837   `'ccnv 4427    o. ccom 4432   Rel wrel 4433   -1-1-onto->wf1o 5001    Er wer 6269    ~~ cen 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-er 6272  df-en 6438
This theorem is referenced by:  ensymb  6477  entr  6481
  Copyright terms: Public domain W3C validator