Theorem ener 6757

Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ener	|- ~~ Er _V

Proof of Theorem ener

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6722	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~~ )
3		bren 6725	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
4		f1ocnv 5455	. . . . . . 7 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> `' f : y -1-1-onto-> x )
5		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7		f1oen2g 6733	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ `' f : y -1-1-onto-> x ) -> y ~~ x )
8	5, 6, 7	mp3an12 1322	. . . . . . 7 |- ( `' f : y -1-1-onto-> x -> y ~~ x )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
10	9	exlimiv 1591	. . . . 5 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
11	3, 10	sylbi 120	. . . 4 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
12	11	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ x ~~ y ) -> y ~~ x )
13		bren 6725	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. g g : x -1-1-onto-> y )
14		bren 6725	. . . . 5 |- ( y ~~ z <-> E. f f : y -1-1-onto-> z )
15		eeanv 1925	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) )
16		f1oco 5465	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : y -1-1-onto-> z /\ g : x -1-1-onto-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
17	16	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
18		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		f1oen2g 6733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
20	6, 18, 19	mp3an12 1322	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z -> x ~~ z )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
22	21	exlimivv 1889	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
23	15, 22	sylbir 134	. . . . 5 |- ( ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
24	13, 14, 23	syl2anb 289	. . . 4 |- ( ( x ~~ y /\ y ~~ z ) -> x ~~ z )
25	24	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ~~ y /\ y ~~ z ) ) -> x ~~ z )
26	6	enref 6743	. . . . 5 |- x ~~ x
27	6, 26	2th 173	. . . 4 |- ( x e. _V <-> x ~~ x )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. _V <-> x ~~ x ) )
29	2, 12, 25, 28	iserd 6539	. 2 |- ( T. -> ~~ Er _V )
30	29	mptru 1357	1 |- ~~ Er _V

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   T. wtru 1349   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   o. ccom 4615   Rel wrel 4616   -1-1-onto->wf1o 5197   Er wer 6510   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-er 6513  df-en 6719

This theorem is referenced by:  ensymb  6758  entr  6762