Theorem ener 6952

Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ener	|- ~~ Er _V

Proof of Theorem ener

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6912	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~~ )
3		bren 6916	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
4		f1ocnv 5596	. . . . . . 7 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> `' f : y -1-1-onto-> x )
5		vex 2805	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6		vex 2805	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7		f1oen2g 6927	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ `' f : y -1-1-onto-> x ) -> y ~~ x )
8	5, 6, 7	mp3an12 1363	. . . . . . 7 |- ( `' f : y -1-1-onto-> x -> y ~~ x )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
10	9	exlimiv 1646	. . . . 5 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
11	3, 10	sylbi 121	. . . 4 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
12	11	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x ~~ y ) -> y ~~ x )
13		bren 6916	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. g g : x -1-1-onto-> y )
14		bren 6916	. . . . 5 |- ( y ~~ z <-> E. f f : y -1-1-onto-> z )
15		eeanv 1985	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) )
16		f1oco 5606	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : y -1-1-onto-> z /\ g : x -1-1-onto-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
18		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		f1oen2g 6927	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
20	6, 18, 19	mp3an12 1363	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z -> x ~~ z )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
22	21	exlimivv 1945	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
23	15, 22	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
24	13, 14, 23	syl2anb 291	. . . 4 |- ( ( x ~~ y /\ y ~~ z ) -> x ~~ z )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ~~ y /\ y ~~ z ) ) -> x ~~ z )
26	6	enref 6937	. . . . 5 |- x ~~ x
27	6, 26	2th 174	. . . 4 |- ( x e. _V <-> x ~~ x )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. _V <-> x ~~ x ) )
29	2, 12, 25, 28	iserd 6727	. 2 |- ( T. -> ~~ Er _V )
30	29	mptru 1406	1 |- ~~ Er _V

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   T. wtru 1398   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   o. ccom 4729   Rel wrel 4730   -1-1-onto->wf1o 5325   Er wer 6698   ~~ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-er 6701  df-en 6909

This theorem is referenced by:  ensymb  6953  entr  6957