ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5 Unicode version

Theorem php5 6805
Description: A natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php5  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem php5
Dummy variables  w  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  w  =  (/) )
2 suceq 4364 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
31, 2breq12d 3980 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
~~  suc  w  <->  (/)  ~~  suc  (/) ) )
43notbid 657 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( -.  w  ~~  suc  w  <->  -.  (/)  ~~  suc  (/) ) )
5 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  w  =  k )
6 suceq 4364 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  suc  w  =  suc  k )
75, 6breq12d 3980 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
w  ~~  suc  w  <->  k  ~~  suc  k ) )
87notbid 657 . 2  |-  ( w  =  k  ->  ( -.  w  ~~  suc  w  <->  -.  k  ~~  suc  k
) )
9 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  suc  k  ->  w  =  suc  k )
10 suceq 4364 . . . 4  |-  ( w  =  suc  k  ->  suc  w  =  suc  suc  k )
119, 10breq12d 3980 . . 3  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( w  ~~  suc  w 
<->  suc  k  ~~  suc  suc  k ) )
1211notbid 657 . 2  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( -.  w  ~~  suc  w  <->  -.  suc  k  ~~  suc  suc  k ) )
13 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  w  =  A )
14 suceq 4364 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  suc  w  =  suc  A )
1513, 14breq12d 3980 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
w  ~~  suc  w  <->  A  ~~  suc  A ) )
1615notbid 657 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( -.  w  ~~  suc  w  <->  -.  A  ~~  suc  A
) )
17 peano1 4555 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
18 peano3 4557 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  suc  (/)  =/=  (/)
20 en0 6742 . . . 4  |-  ( suc  (/)  ~~  (/)  <->  suc  (/)  =  (/) )
2119, 20nemtbir 2416 . . 3  |-  -.  suc  (/)  ~~  (/)
22 ensymb 6727 . . 3  |-  ( suc  (/)  ~~  (/)  <->  (/)  ~~  suc  (/) )
2321, 22mtbi 660 . 2  |-  -.  (/)  ~~  suc  (/)
24 peano2 4556 . . . 4  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
25 vex 2715 . . . . 5  |-  k  e. 
_V
2625sucex 4460 . . . . 5  |-  suc  k  e.  _V
2725, 26phplem4 6802 . . . 4  |-  ( ( k  e.  om  /\  suc  k  e.  om )  ->  ( suc  k  ~~  suc  suc  k  ->  k 
~~  suc  k )
)
2824, 27mpdan 418 . . 3  |-  ( k  e.  om  ->  ( suc  k  ~~  suc  suc  k  ->  k  ~~  suc  k ) )
2928con3d 621 . 2  |-  ( k  e.  om  ->  ( -.  k  ~~  suc  k  ->  -.  suc  k  ~~  suc  suc  k ) )
304, 8, 12, 16, 23, 29finds 4561 1  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   (/)c0 3395   class class class wbr 3967   suc csuc 4327   omcom 4551    ~~ cen 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-er 6482  df-en 6688
This theorem is referenced by:  snnen2og  6806  1nen2  6808  php5dom  6810  php5fin  6829
  Copyright terms: Public domain W3C validator