Theorem php5 6805

Description: A natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php5	|- ( A e. om -> -. A ~~ suc A )

Proof of Theorem php5

Dummy variables w k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w = (/) -> w = (/) )
2		suceq 4364	. . . 4 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
3	1, 2	breq12d 3980	. . 3 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc w <-> (/) ~~ suc (/) ) )
4	3	notbid 657	. 2 |- ( w = (/) -> ( -. w ~~ suc w <-> -. (/) ~~ suc (/) ) )
5		id 19	. . . 4 |- ( w = k -> w = k )
6		suceq 4364	. . . 4 |- ( w = k -> suc w = suc k )
7	5, 6	breq12d 3980	. . 3 |- ( w = k -> ( w ~~ suc w <-> k ~~ suc k ) )
8	7	notbid 657	. 2 |- ( w = k -> ( -. w ~~ suc w <-> -. k ~~ suc k ) )
9		id 19	. . . 4 |- ( w = suc k -> w = suc k )
10		suceq 4364	. . . 4 |- ( w = suc k -> suc w = suc suc k )
11	9, 10	breq12d 3980	. . 3 |- ( w = suc k -> ( w ~~ suc w <-> suc k ~~ suc suc k ) )
12	11	notbid 657	. 2 |- ( w = suc k -> ( -. w ~~ suc w <-> -. suc k ~~ suc suc k ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( w = A -> w = A )
14		suceq 4364	. . . 4 |- ( w = A -> suc w = suc A )
15	13, 14	breq12d 3980	. . 3 |- ( w = A -> ( w ~~ suc w <-> A ~~ suc A ) )
16	15	notbid 657	. 2 |- ( w = A -> ( -. w ~~ suc w <-> -. A ~~ suc A ) )
17		peano1 4555	. . . . 5 |- (/) e. om
18		peano3 4557	. . . . 5 |- ( (/) e. om -> suc (/) =/= (/) )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 |- suc (/) =/= (/)
20		en0 6742	. . . 4 |- ( suc (/) ~~ (/) <-> suc (/) = (/) )
21	19, 20	nemtbir 2416	. . 3 |- -. suc (/) ~~ (/)
22		ensymb 6727	. . 3 |- ( suc (/) ~~ (/) <-> (/) ~~ suc (/) )
23	21, 22	mtbi 660	. 2 |- -. (/) ~~ suc (/)
24		peano2 4556	. . . 4 |- ( k e. om -> suc k e. om )
25		vex 2715	. . . . 5 |- k e. _V
26	25	sucex 4460	. . . . 5 |- suc k e. _V
27	25, 26	phplem4 6802	. . . 4 |- ( ( k e. om /\ suc k e. om ) -> ( suc k ~~ suc suc k -> k ~~ suc k ) )
28	24, 27	mpdan 418	. . 3 |- ( k e. om -> ( suc k ~~ suc suc k -> k ~~ suc k ) )
29	28	con3d 621	. 2 |- ( k e. om -> ( -. k ~~ suc k -> -. suc k ~~ suc suc k ) )
30	4, 8, 12, 16, 23, 29	finds 4561	1 |- ( A e. om -> -. A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   (/)c0 3395   class class class wbr 3967   suc csuc 4327   omcom 4551   ~~ cen 6685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-er 6482  df-en 6688

This theorem is referenced by:  snnen2og  6806  1nen2  6808  php5dom  6810  php5fin  6829