ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpeqd Unicode version

Theorem phpeqd 6934
Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of phpm 6867 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
phpeqd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
phpeqd.2  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
phpeqd.3  |-  ( ph  ->  A  ~~  B )
Assertion
Ref Expression
phpeqd  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem phpeqd
StepHypRef Expression
1 phpeqd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 phpeqd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
3 phpeqd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  ~~  B )
4 ensymb 6782 . . . 4  |-  ( B 
~~  A  <->  A  ~~  B )
5 fisseneq 6933 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  B  ~~  A )  ->  B  =  A )
64, 5syl3an3br 1279 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A  ~~  B )  ->  B  =  A )
76eqcomd 2183 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )
81, 2, 3, 7syl3anc 1238 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3131   class class class wbr 4005    ~~ cen 6740   Fincfn 6742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator