Theorem phpeqd 6980

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of phpm 6912 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqd.1	|- ( ph -> A e. Fin )
phpeqd.2	|- ( ph -> B C_ A )
phpeqd.3	|- ( ph -> A ~~ B )

Assertion

Ref	Expression
phpeqd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem phpeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqd.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
2		phpeqd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ A )
3		phpeqd.3	. 2 |- ( ph -> A ~~ B )
4		ensymb 6825	. . . 4 |- ( B ~~ A <-> A ~~ B )
5		fisseneq 6979	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ B ~~ A ) -> B = A )
6	4, 5	syl3an3br 1290	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A ~~ B ) -> B = A )
7	6	eqcomd 2199	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A ~~ B ) -> A = B )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1249	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   ~~ cen 6783   Fincfn 6785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788

This theorem is referenced by: (None)