Theorem phpeqd 6931

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of phpm 6864 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqd.1	|- ( ph -> A e. Fin )
phpeqd.2	|- ( ph -> B C_ A )
phpeqd.3	|- ( ph -> A ~~ B )

Assertion

Ref	Expression
phpeqd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem phpeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqd.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
2		phpeqd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ A )
3		phpeqd.3	. 2 |- ( ph -> A ~~ B )
4		ensymb 6779	. . . 4 |- ( B ~~ A <-> A ~~ B )
5		fisseneq 6930	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ B ~~ A ) -> B = A )
6	4, 5	syl3an3br 1279	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A ~~ B ) -> B = A )
7	6	eqcomd 2183	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A ~~ B ) -> A = B )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1238	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   ~~ cen 6737   Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742

This theorem is referenced by: (None)