Theorem snnen2og 6877

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a proper class, see snnen2oprc 6878. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	|- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6539	. . 3 |- 1o e. om
2		php5 6876	. . 3 |- ( 1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- -. 1o ~~ suc 1o
4		ensn1g 6815	. 2 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
5		df-2o 6436	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2193	. . . 4 |- suc 1o = 2o
7	6	breq2i 4026	. . 3 |- ( 1o ~~ suc 1o <-> 1o ~~ 2o )
8		ensymb 6798	. . . . 5 |- ( { A } ~~ 1o <-> 1o ~~ { A } )
9		entr 6802	. . . . . 6 |- ( ( 1o ~~ { A } /\ { A } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
10	9	ex 115	. . . . 5 |- ( 1o ~~ { A } -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
11	8, 10	sylbi 121	. . . 4 |- ( { A } ~~ 1o -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
12	11	con3rr3 634	. . 3 |- ( -. 1o ~~ 2o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
13	7, 12	sylnbi 679	. 2 |- ( -. 1o ~~ suc 1o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 |- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2160   {csn 3607   class class class wbr 4018   suc csuc 4380   omcom 4604   1oc1o 6428   2oc2o 6429   ~~ cen 6756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-en 6759

This theorem is referenced by: (None)