Theorem snnen2og 6872

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a proper class, see snnen2oprc 6873. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	|- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6534	. . 3 |- 1o e. om
2		php5 6871	. . 3 |- ( 1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- -. 1o ~~ suc 1o
4		ensn1g 6810	. 2 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
5		df-2o 6431	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2191	. . . 4 |- suc 1o = 2o
7	6	breq2i 4023	. . 3 |- ( 1o ~~ suc 1o <-> 1o ~~ 2o )
8		ensymb 6793	. . . . 5 |- ( { A } ~~ 1o <-> 1o ~~ { A } )
9		entr 6797	. . . . . 6 |- ( ( 1o ~~ { A } /\ { A } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
10	9	ex 115	. . . . 5 |- ( 1o ~~ { A } -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
11	8, 10	sylbi 121	. . . 4 |- ( { A } ~~ 1o -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
12	11	con3rr3 634	. . 3 |- ( -. 1o ~~ 2o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
13	7, 12	sylnbi 679	. 2 |- ( -. 1o ~~ suc 1o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 |- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2158   {csn 3604   class class class wbr 4015   suc csuc 4377   omcom 4601   1oc1o 6423   2oc2o 6424   ~~ cen 6751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-1o 6430  df-2o 6431  df-er 6548  df-en 6754

This theorem is referenced by: (None)