Theorem snnen2og 6804

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a proper class, see snnen2oprc 6805. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	|- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6467	. . 3 |- 1o e. om
2		php5 6803	. . 3 |- ( 1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- -. 1o ~~ suc 1o
4		ensn1g 6742	. 2 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
5		df-2o 6364	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2161	. . . 4 |- suc 1o = 2o
7	6	breq2i 3973	. . 3 |- ( 1o ~~ suc 1o <-> 1o ~~ 2o )
8		ensymb 6725	. . . . 5 |- ( { A } ~~ 1o <-> 1o ~~ { A } )
9		entr 6729	. . . . . 6 |- ( ( 1o ~~ { A } /\ { A } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
10	9	ex 114	. . . . 5 |- ( 1o ~~ { A } -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
11	8, 10	sylbi 120	. . . 4 |- ( { A } ~~ 1o -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
12	11	con3rr3 623	. . 3 |- ( -. 1o ~~ 2o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
13	7, 12	sylnbi 668	. 2 |- ( -. 1o ~~ suc 1o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 |- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2128   {csn 3560   class class class wbr 3965   suc csuc 4325   omcom 4549   1oc1o 6356   2oc2o 6357   ~~ cen 6683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686

This theorem is referenced by: (None)