ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og Unicode version

Theorem snnen2og 6521
Description: A singleton  { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If  A is a proper class, see snnen2oprc 6522. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og  |-  ( A  e.  V  ->  -.  { A }  ~~  2o )

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6225 . . 3  |-  1o  e.  om
2 php5 6520 . . 3  |-  ( 1o  e.  om  ->  -.  1o  ~~  suc  1o )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  -.  1o  ~~ 
suc  1o
4 ensn1g 6460 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
5 df-2o 6130 . . . . 5  |-  2o  =  suc  1o
65eqcomi 2089 . . . 4  |-  suc  1o  =  2o
76breq2i 3828 . . 3  |-  ( 1o 
~~  suc  1o  <->  1o  ~~  2o )
8 ensymb 6443 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  1o  <->  1o 
~~  { A }
)
9 entr 6447 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  ~~  { A }  /\  { A }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
109ex 113 . . . . 5  |-  ( 1o 
~~  { A }  ->  ( { A }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
118, 10sylbi 119 . . . 4  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  ( { A }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
1211con3rr3 596 . . 3  |-  ( -.  1o  ~~  2o  ->  ( { A }  ~~  1o  ->  -.  { A }  ~~  2o ) )
137, 12sylnbi 636 . 2  |-  ( -.  1o  ~~  suc  1o  ->  ( { A }  ~~  1o  ->  -.  { A }  ~~  2o ) )
143, 4, 13mpsyl 64 1  |-  ( A  e.  V  ->  -.  { A }  ~~  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1436   {csn 3431   class class class wbr 3820   suc csuc 4165   omcom 4377   1oc1o 6122   2oc2o 6123    ~~ cen 6401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-iinf 4375
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-tr 3911  df-id 4093  df-iord 4166  df-on 4168  df-suc 4171  df-iom 4378  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-fv 4986  df-1o 6129  df-2o 6130  df-er 6238  df-en 6404
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator