Theorem eqinfti 6795

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqinfti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
eqinfti	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem eqinfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6760	. . 3 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		eqinfti.ti	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
3	2	cnvti 6794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢◡𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣◡𝑅𝑢)))
4	3	eqsupti 6771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) = 𝐶))
5		vex 2636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		brcnvg 4648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝐶◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝐶))
7	6	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑦𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑦))
8	5, 7	mpan2 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑦𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑦))
9	8	notbid 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ¬ 𝐶◡𝑅𝑦))
10	9	ralbidv 2391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦))
11		brcnvg 4648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑦◡𝑅𝐶 ↔ 𝐶𝑅𝑦))
12	5, 11	mpan 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑦◡𝑅𝐶 ↔ 𝐶𝑅𝑦))
13	12	bicomd 140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐶𝑅𝑦 ↔ 𝑦◡𝑅𝐶))
14		vex 2636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
15	5, 14	brcnv 4650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
17	16	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑦◡𝑅𝑧))
18	17	rexbidv 2392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))
19	13, 18	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
20	19	ralbidv 2391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
21	10, 20	anbi12d 458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))
22	21	pm5.32i 443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))
23		3anass 931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
24		3anass 931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))
25	22, 23, 24	3bitr4i 211	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
26	25	biimpi 119	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
27	4, 26	impel 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) = 𝐶)
28	1, 27	syl5eq 2139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
29	28	ex 114	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370  ∃wrex 2371  Vcvv 2633   class class class wbr 3867  ^◡ccnv 4466  supcsup 6757  infcinf 6758

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-riota 5646  df-sup 6759  df-inf 6760

This theorem is referenced by:  eqinftid  6796