ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqinfti GIF version

Theorem eqinfti 7012
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eqinfti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
Assertion
Ref Expression
eqinfti (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem eqinfti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6977 . . 3 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 eqinfti.ti . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
32cnvti 7011 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
43eqsupti 6988 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
5 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
6 brcnvg 4803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐴𝑦 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑦𝑦𝑅𝐶))
76bicomd 141 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐴𝑦 ∈ V) → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
85, 7mpan2 425 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
98notbid 667 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝑅𝑦))
109ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦))
11 brcnvg 4803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
125, 11mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
1312bicomd 141 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (𝐶𝑅𝑦𝑦𝑅𝐶))
14 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
155, 14brcnv 4805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1615a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1716bicomd 141 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧))
1817rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1913, 18imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2019ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2110, 20anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2221pm5.32i 454 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
23 3anass 982 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
24 3anass 982 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2522, 23, 243bitr4i 212 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2625biimpi 120 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
274, 26impel 280 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
281, 27eqtrid 2222 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
2928ex 115 1 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  ccnv 4621  supcsup 6974  infcinf 6975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-cnv 4630  df-iota 5173  df-riota 5824  df-sup 6976  df-inf 6977
This theorem is referenced by:  eqinftid  7013
  Copyright terms: Public domain W3C validator