Theorem asymref 5168

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U. U. R is the field of a relation by relfld 5311. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
asymref	|- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem asymref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
2		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
4	2, 3	opeluu 4591	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. R -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
5	1, 4	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( x R y -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
6	5	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( x R y -> x e. U. U. R )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) -> x e. U. U. R )
8	7	pm4.71ri 396	. . . . . . 7 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) )
9	8	bibi1i 228	. . . . . 6 |- ( ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
10		elin 3412	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
11	2, 3	brcnv 4958	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> y R x )
12		df-br 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
13	11, 12	bitr3i 186	. . . . . . . . 9 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
14	1, 13	anbi12i 464	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
15	10, 14	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
16	3	opelres 5063	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) )
17		df-br 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
18	3	ideq 4927	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> x = y )
19	17, 18	bitr3i 186	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
20	19	anbi2ci 463	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
21	16, 20	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
22	15, 21	bibi12i 229	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
23		pm5.32 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
24	9, 22, 23	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
25	24	albii 1523	. . . 4 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
26		19.21v 1926	. . . 4 |- ( A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
27	25, 26	bitri 184	. . 3 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
28	27	albii 1523	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
29		relcnv 5160	. . . 4 |- Rel `' R
30		relin2 4891	. . . 4 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ( R i^i `' R )
32		relres 5086	. . 3 |- Rel ( _I |` U. U. R )
33		eqrel 4859	. . 3 |- ( ( Rel ( R i^i `' R ) /\ Rel ( _I |` U. U. R ) ) -> ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 430	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) )
35		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
36	28, 34, 35	3bitr4i 212	1 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   i^i cin 3219   <.cop 3708   U.cuni 3930   class class class wbr 4125   _I cid 4428   `'ccnv 4768   |` cres 4771   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-res 4781

This theorem is referenced by: (None)