Theorem asymref 5051

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U. U. R is the field of a relation by relfld 5194. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
asymref	|- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem asymref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4030	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
2		vex 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3		vex 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
4	2, 3	opeluu 4481	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. R -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
5	1, 4	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( x R y -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
6	5	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( x R y -> x e. U. U. R )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) -> x e. U. U. R )
8	7	pm4.71ri 392	. . . . . . 7 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) )
9	8	bibi1i 228	. . . . . 6 |- ( ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
10		elin 3342	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
11	2, 3	brcnv 4845	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> y R x )
12		df-br 4030	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
13	11, 12	bitr3i 186	. . . . . . . . 9 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
14	1, 13	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
15	10, 14	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
16	3	opelres 4947	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) )
17		df-br 4030	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
18	3	ideq 4814	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> x = y )
19	17, 18	bitr3i 186	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
20	19	anbi2ci 459	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
21	16, 20	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
22	15, 21	bibi12i 229	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
23		pm5.32 453	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
24	9, 22, 23	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
25	24	albii 1481	. . . 4 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
26		19.21v 1884	. . . 4 |- ( A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
27	25, 26	bitri 184	. . 3 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
28	27	albii 1481	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
29		relcnv 5043	. . . 4 |- Rel `' R
30		relin2 4778	. . . 4 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ( R i^i `' R )
32		relres 4970	. . 3 |- Rel ( _I |` U. U. R )
33		eqrel 4748	. . 3 |- ( ( Rel ( R i^i `' R ) /\ Rel ( _I |` U. U. R ) ) -> ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 426	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) )
35		df-ral 2477	. 2 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
36	28, 34, 35	3bitr4i 212	1 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   i^i cin 3152   <.cop 3621   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   _I cid 4319   `'ccnv 4658   |` cres 4661   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-res 4671

This theorem is referenced by: (None)