Theorem cnvopab 5068

Description: The converse of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 11-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cnvopab	|- `' { <. x , y >. | ph } = { <. y , x >. | ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem cnvopab

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5044	. 2 |- Rel `' { <. x , y >. | ph }
2		relopab 4789	. 2 |- Rel { <. y , x >. | ph }
3		opelopabsbALT 4290	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [ z / y ] [ w / x ] ph )
4		sbcom2 2003	. . . 4 |- ( [ z / y ] [ w / x ] ph <-> [ w / x ] [ z / y ] ph )
5	3, 4	bitri 184	. . 3 |- ( <. w , z >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [ w / x ] [ z / y ] ph )
6		vex 2763	. . . 4 |- z e. _V
7		vex 2763	. . . 4 |- w e. _V
8	6, 7	opelcnv 4845	. . 3 |- ( <. z , w >. e. `' { <. x , y >. | ph } <-> <. w , z >. e. { <. x , y >. | ph } )
9		opelopabsbALT 4290	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. y , x >. | ph } <-> [ w / x ] [ z / y ] ph )
10	5, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. z , w >. e. `' { <. x , y >. | ph } <-> <. z , w >. e. { <. y , x >. | ph } )
11	1, 2, 10	eqrelriiv 4754	1 |- `' { <. x , y >. | ph } = { <. y , x >. | ph }

Syntax hints:   = wceq 1364   [wsb 1773   e. wcel 2164   <.cop 3622   {copab 4090   `'ccnv 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668

This theorem is referenced by:  mptcnv  5069  cnvxp  5085  mptpreima  5160  f1ocnvd  6122  cnvoprab  6289  mapsncnv  6751  lgsquadlem3  15236