Theorem cnvopab 5085

Description: The converse of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 11-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cnvopab	|- `' { <. x , y >. | ph } = { <. y , x >. | ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem cnvopab

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5061	. 2 |- Rel `' { <. x , y >. | ph }
2		relopab 4805	. 2 |- Rel { <. y , x >. | ph }
3		opelopabsbALT 4306	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [ z / y ] [ w / x ] ph )
4		sbcom2 2015	. . . 4 |- ( [ z / y ] [ w / x ] ph <-> [ w / x ] [ z / y ] ph )
5	3, 4	bitri 184	. . 3 |- ( <. w , z >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [ w / x ] [ z / y ] ph )
6		vex 2775	. . . 4 |- z e. _V
7		vex 2775	. . . 4 |- w e. _V
8	6, 7	opelcnv 4861	. . 3 |- ( <. z , w >. e. `' { <. x , y >. | ph } <-> <. w , z >. e. { <. x , y >. | ph } )
9		opelopabsbALT 4306	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. y , x >. | ph } <-> [ w / x ] [ z / y ] ph )
10	5, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. z , w >. e. `' { <. x , y >. | ph } <-> <. z , w >. e. { <. y , x >. | ph } )
11	1, 2, 10	eqrelriiv 4770	1 |- `' { <. x , y >. | ph } = { <. y , x >. | ph }

Syntax hints:   = wceq 1373   [wsb 1785   e. wcel 2176   <.cop 3636   {copab 4105   `'ccnv 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684

This theorem is referenced by:  mptcnv  5086  cnvxp  5102  mptpreima  5177  f1ocnvd  6150  cnvoprab  6322  mapsncnv  6784  lgsquadlem3  15589