Theorem cnv0 4942

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	|- `' (/) = (/)

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4917	. 2 |- Rel `' (/)
2		rel0 4664	. 2 |- Rel (/)
3		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
4		vex 2689	. . . 4 |- y e. _V
5	3, 4	opelcnv 4721	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
6		noel 3367	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
7		noel 3367	. . . 4 |- -. <. y , x >. e. (/)
8	6, 7	2false 690	. . 3 |- ( <. x , y >. e. (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
9	5, 8	bitr4i 186	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. x , y >. e. (/) )
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4633	1 |- `' (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   (/)c0 3363   <.cop 3530   `'ccnv 4538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547

This theorem is referenced by:  xp0  4958  cnveq0  4995  co01  5053  f10  5401  f1o00  5402  tpos0  6171