Theorem cnv0 5087

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	|- `' (/) = (/)

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5061	. 2 |- Rel `' (/)
2		rel0 4801	. 2 |- Rel (/)
3		vex 2775	. . . 4 |- x e. _V
4		vex 2775	. . . 4 |- y e. _V
5	3, 4	opelcnv 4861	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
6		noel 3464	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
7		noel 3464	. . . 4 |- -. <. y , x >. e. (/)
8	6, 7	2false 703	. . 3 |- ( <. x , y >. e. (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
9	5, 8	bitr4i 187	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. x , y >. e. (/) )
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4770	1 |- `' (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460   <.cop 3636   `'ccnv 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684

This theorem is referenced by:  xp0  5103  cnveq0  5140  co01  5198  f10  5558  f1o00  5559  tpos0  6362