Theorem cnv0 5014

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	|- `' (/) = (/)

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4989	. 2 |- Rel `' (/)
2		rel0 4736	. 2 |- Rel (/)
3		vex 2733	. . . 4 |- x e. _V
4		vex 2733	. . . 4 |- y e. _V
5	3, 4	opelcnv 4793	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
6		noel 3418	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
7		noel 3418	. . . 4 |- -. <. y , x >. e. (/)
8	6, 7	2false 696	. . 3 |- ( <. x , y >. e. (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
9	5, 8	bitr4i 186	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. x , y >. e. (/) )
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4705	1 |- `' (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   <.cop 3586   `'ccnv 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619

This theorem is referenced by:  xp0  5030  cnveq0  5067  co01  5125  f10  5476  f1o00  5477  tpos0  6253