Theorem cnv0 5140

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	|- `' (/) = (/)

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5114	. 2 |- Rel `' (/)
2		rel0 4852	. 2 |- Rel (/)
3		vex 2805	. . . 4 |- x e. _V
4		vex 2805	. . . 4 |- y e. _V
5	3, 4	opelcnv 4912	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
6		noel 3498	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
7		noel 3498	. . . 4 |- -. <. y , x >. e. (/)
8	6, 7	2false 708	. . 3 |- ( <. x , y >. e. (/) <-> <. y , x >. e. (/) )
9	5, 8	bitr4i 187	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' (/) <-> <. x , y >. e. (/) )
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4820	1 |- `' (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   <.cop 3672   `'ccnv 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733

This theorem is referenced by:  xp0  5156  cnveq0  5193  co01  5251  f10  5618  f1o00  5620  tpos0  6439