Theorem difopab 4737

Description: The difference of two ordered-pair abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difopab	|- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem difopab

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4731	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		reldif 4724	. . 3 |- ( Rel { <. x , y >. | ph } -> Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } )
4		relopab 4731	. 2 |- Rel { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }
5		sbcan 2993	. . . 4 |- ( [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
6		sbcan 2993	. . . . 5 |- ( [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
7	6	sbcbii 3010	. . . 4 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
8		opelopabsb 4238	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ph )
9		vex 2729	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		sbcng 2991	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
12		vex 2729	. . . . . . . 8 |- w e. _V
13		sbcng 2991	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps )
15	14	sbcbii 3010	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps <-> [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps )
16		opelopabsb 4238	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
17	16	notbii 658	. . . . . 6 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
18	11, 15, 17	3bitr4ri 212	. . . . 5 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps )
19	8, 18	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
20	5, 7, 19	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
21		eldif 3125	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
22		opelopabsb 4238	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
23	20, 21, 22	3bitr4i 211	. 2 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } )
24	3, 4, 23	eqrelriiv 4698	1 |- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   [.wsbc 2951   \ cdif 3113   <.cop 3579   {copab 4042   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by: (None)