Theorem difopab 4795

Description: The difference of two ordered-pair abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difopab	|- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem difopab

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4788	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		reldif 4779	. . 3 |- ( Rel { <. x , y >. | ph } -> Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } )
4		relopab 4788	. 2 |- Rel { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }
5		sbcan 3028	. . . 4 |- ( [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
6		sbcan 3028	. . . . 5 |- ( [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
7	6	sbcbii 3045	. . . 4 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
8		opelopabsb 4290	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ph )
9		vex 2763	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		sbcng 3026	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
12		vex 2763	. . . . . . . 8 |- w e. _V
13		sbcng 3026	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps )
15	14	sbcbii 3045	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps <-> [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps )
16		opelopabsb 4290	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
17	16	notbii 669	. . . . . 6 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
18	11, 15, 17	3bitr4ri 213	. . . . 5 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps )
19	8, 18	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
20	5, 7, 19	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
21		eldif 3162	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
22		opelopabsb 4290	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
23	20, 21, 22	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } )
24	3, 4, 23	eqrelriiv 4753	1 |- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   [.wsbc 2985   \ cdif 3150   <.cop 3621   {copab 4089   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666

This theorem is referenced by: (None)