ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ersym GIF version

Theorem ersym 6284
Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ersym.1 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
ersym.2 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
Assertion
Ref Expression
ersym (𝜑𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem ersym
StepHypRef Expression
1 ersym.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
2 ersym.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
3 errel 6281 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 → Rel 𝑅)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝑅)
5 brrelex12 4464 . . . . 5 ((Rel 𝑅𝐴𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
64, 1, 5syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 brcnvg 4605 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
87ancoms 264 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
96, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
101, 9mpbird 165 . 2 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
11 df-er 6272 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝑋 ∧ (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅))
1211simp3bi 960 . . . . 5 (𝑅 Er 𝑋 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
132, 12syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
1413unssad 3175 . . 3 (𝜑𝑅𝑅)
1514ssbrd 3878 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐵𝑅𝐴))
1610, 15mpd 13 1 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  wss 2997   class class class wbr 3837  ccnv 4427  dom cdm 4428  ccom 4432  Rel wrel 4433   Er wer 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-er 6272
This theorem is referenced by:  ercl2  6285  ersymb  6286  ertr2d  6289  ertr3d  6290  ertr4d  6291  erth  6316  erinxp  6346
  Copyright terms: Public domain W3C validator