ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ersym GIF version

Theorem ersym 6572
Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ersym.1 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
ersym.2 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
Assertion
Ref Expression
ersym (𝜑𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem ersym
StepHypRef Expression
1 ersym.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
2 ersym.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
3 errel 6569 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 → Rel 𝑅)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝑅)
5 brrelex12 4682 . . . . 5 ((Rel 𝑅𝐴𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
64, 1, 5syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 brcnvg 4826 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
87ancoms 268 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
96, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
101, 9mpbird 167 . 2 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
11 df-er 6560 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝑋 ∧ (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅))
1211simp3bi 1016 . . . . 5 (𝑅 Er 𝑋 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
132, 12syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
1413unssad 3327 . . 3 (𝜑𝑅𝑅)
1514ssbrd 4061 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐵𝑅𝐴))
1610, 15mpd 13 1 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  cun 3142  wss 3144   class class class wbr 4018  ccnv 4643  dom cdm 4644  ccom 4648  Rel wrel 4649   Er wer 6557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-er 6560
This theorem is referenced by:  ercl2  6573  ersymb  6574  ertr2d  6577  ertr3d  6578  ertr4d  6579  erth  6606  erinxp  6636  qusgrp2  13070  2idlcpblrng  13855
  Copyright terms: Public domain W3C validator