ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ersym GIF version

Theorem ersym 6234
Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ersym.1 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
ersym.2 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
Assertion
Ref Expression
ersym (𝜑𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem ersym
StepHypRef Expression
1 ersym.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
2 ersym.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
3 errel 6231 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 → Rel 𝑅)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝑅)
5 brrelex12 4437 . . . . 5 ((Rel 𝑅𝐴𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
64, 1, 5syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 brcnvg 4575 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
87ancoms 264 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
96, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
101, 9mpbird 165 . 2 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
11 df-er 6222 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝑋 ∧ (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅))
1211simp3bi 956 . . . . 5 (𝑅 Er 𝑋 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
132, 12syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
1413unssad 3161 . . 3 (𝜑𝑅𝑅)
1514ssbrd 3852 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐵𝑅𝐴))
1610, 15mpd 13 1 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2612  cun 2982  wss 2984   class class class wbr 3811  ccnv 4400  dom cdm 4401  ccom 4405  Rel wrel 4406   Er wer 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-er 6222
This theorem is referenced by:  ercl2  6235  ersymb  6236  ertr2d  6239  ertr3d  6240  ertr4d  6241  erth  6266  erinxp  6296
  Copyright terms: Public domain W3C validator