ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ersym GIF version

Theorem ersym 6541
Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ersym.1 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
ersym.2 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
Assertion
Ref Expression
ersym (𝜑𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem ersym
StepHypRef Expression
1 ersym.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
2 ersym.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Er 𝑋)
3 errel 6538 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 → Rel 𝑅)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝑅)
5 brrelex12 4661 . . . . 5 ((Rel 𝑅𝐴𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
64, 1, 5syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 brcnvg 4804 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
87ancoms 268 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
96, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐴𝑅𝐵))
101, 9mpbird 167 . 2 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
11 df-er 6529 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝑋 ∧ (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅))
1211simp3bi 1014 . . . . 5 (𝑅 Er 𝑋 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
132, 12syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
1413unssad 3312 . . 3 (𝜑𝑅𝑅)
1514ssbrd 4043 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑅𝐴𝐵𝑅𝐴))
1610, 15mpd 13 1 (𝜑𝐵𝑅𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  wss 3129   class class class wbr 4000  ccnv 4622  dom cdm 4623  ccom 4627  Rel wrel 4628   Er wer 6526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-er 6529
This theorem is referenced by:  ercl2  6542  ersymb  6543  ertr2d  6546  ertr3d  6547  ertr4d  6548  erth  6573  erinxp  6603
  Copyright terms: Public domain W3C validator