Theorem euen1 6952

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	|- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 6951	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> { x e. _V | ph } ~~ 1o )
2		reuv 2819	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> E! x ph )
3		rabab 2821	. . 3 |- { x e. _V | ph } = { x | ph }
4	3	breq1i 4089	. 2 |- ( { x e. _V | ph } ~~ 1o <-> { x | ph } ~~ 1o )
5	1, 2, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 105   E!weu 2077   {cab 2215   E!wreu 2510   {crab 2512   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   1oc1o 6553   ~~ cen 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1o 6560  df-en 6886

This theorem is referenced by:  euen1b  6953