Theorem euen1 7089

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	|- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 7088	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> { x e. _V | ph } ~~ 1o )
2		reuv 2841	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> E! x ph )
3		rabab 2843	. . 3 |- { x e. _V | ph } = { x | ph }
4	3	breq1i 4137	. 2 |- ( { x e. _V | ph } ~~ 1o <-> { x | ph } ~~ 1o )
5	1, 2, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   E!weu 2086   {cab 2224   E!wreu 2530   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   1oc1o 6680   ~~ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-en 7023

This theorem is used by:  euen1b  7090