Theorem euen1 7042

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	|- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 7041	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> { x e. _V | ph } ~~ 1o )
2		reuv 2833	. 2 |- ( E! x e. _V ph <-> E! x ph )
3		rabab 2835	. . 3 |- { x e. _V | ph } = { x | ph }
4	3	breq1i 4116	. 2 |- ( { x e. _V | ph } ~~ 1o <-> { x | ph } ~~ 1o )
5	1, 2, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E! x ph <-> { x | ph } ~~ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 105   E!weu 2080   {cab 2218   E!wreu 2522   {crab 2524   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   1oc1o 6640   ~~ cen 6973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-en 6976

This theorem is referenced by:  euen1b  7043