ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reuen1 Unicode version

Theorem reuen1 6701
Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
reuen1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  { x  e.  A  |  ph }  ~~  1o )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reuen1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reusn 3600 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y { x  e.  A  |  ph }  =  { y } )
2 en1 6699 . 2  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  ~~  1o  <->  E. y { x  e.  A  |  ph }  =  {
y } )
31, 2bitr4i 186 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  { x  e.  A  |  ph }  ~~  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1332   E.wex 1469   E!wreu 2419   {crab 2421   {csn 3530   class class class wbr 3935   1oc1o 6312    ~~ cen 6638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-suc 4299  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-1o 6319  df-en 6641
This theorem is referenced by:  euen1  6702
  Copyright terms: Public domain W3C validator