Theorem euen1b 6859

Description: Two ways to express " A has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	|- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 6858	. 2 |- ( E! x x e. A <-> { x | x e. A } ~~ 1o )
2		abid2 2314	. . 3 |- { x | x e. A } = A
3	2	breq1i 4037	. 2 |- ( { x | x e. A } ~~ 1o <-> A ~~ 1o )
4	1, 3	bitr2i 185	1 |- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Syntax hints:   <-> wb 105   E!weu 2042   e. wcel 2164   {cab 2179   class class class wbr 4030   1oc1o 6464   ~~ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-en 6797

This theorem is referenced by: (None)