Theorem euen1b 6897

Description: Two ways to express " A has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	|- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 6896	. 2 |- ( E! x x e. A <-> { x | x e. A } ~~ 1o )
2		abid2 2326	. . 3 |- { x | x e. A } = A
3	2	breq1i 4052	. 2 |- ( { x | x e. A } ~~ 1o <-> A ~~ 1o )
4	1, 3	bitr2i 185	1 |- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Syntax hints:   <-> wb 105   E!weu 2054   e. wcel 2176   {cab 2191   class class class wbr 4045   1oc1o 6497   ~~ cen 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-suc 4419  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-1o 6504  df-en 6830

This theorem is referenced by: (None)