Theorem euen1b 6690

Description: Two ways to express " A has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	|- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 6689	. 2 |- ( E! x x e. A <-> { x | x e. A } ~~ 1o )
2		abid2 2258	. . 3 |- { x | x e. A } = A
3	2	breq1i 3931	. 2 |- ( { x | x e. A } ~~ 1o <-> A ~~ 1o )
4	1, 3	bitr2i 184	1 |- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   E!weu 1997   {cab 2123   class class class wbr 3924   1oc1o 6299   ~~ cen 6625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-en 6628

This theorem is referenced by: (None)