Theorem f0 5536

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 5459	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 4994	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3535	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3260	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5337	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 951	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1398   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ran crn 4732   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by:  f00  5537  f0bi  5538  f10  5627  map0g  6900  ac6sfi  7130  wrd0  11185  gsum0g  13540  0met  15175  uhgr0e  16003  uhgr0  16006  griedg0prc  16171  gfsum0  16791