Theorem f0 5445

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 5374	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 4919	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3486	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3212	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5259	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 944	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1364   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  ran crn 4661   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259

This theorem is referenced by:  f00  5446  f0bi  5447  f10  5535  map0g  6744  ac6sfi  6956  wrd0  10942  gsum0g  12982  0met  14563