ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f0 GIF version

Theorem f0 5308
Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
f0 ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0
StepHypRef Expression
1 eqid 2137 . . 3 ∅ = ∅
2 fn0 5237 . . 3 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
31, 2mpbir 145 . 2 ∅ Fn ∅
4 rn0 4790 . . 3 ran ∅ = ∅
5 0ss 3396 . . 3 ∅ ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3124 . 2 ran ∅ ⊆ 𝐴
7 df-f 5122 . 2 (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
83, 6, 7mpbir2an 926 1 ∅:∅⟶𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wss 3066  c0 3358  ran crn 4535   Fn wfn 5113  wf 5114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122
This theorem is referenced by:  f00  5309  f0bi  5310  f10  5394  map0g  6575  ac6sfi  6785  0met  12542
  Copyright terms: Public domain W3C validator