Theorem f0 5473

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 5401	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 4939	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3500	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3226	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5280	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 945	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1373   ⊆ wss 3167  ∅c0 3461  ran crn 4680   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280

This theorem is referenced by:  f00  5474  f0bi  5475  f10  5563  map0g  6782  ac6sfi  7002  wrd0  11026  gsum0g  13272  0met  14900  uhgr0e  15722  uhgr0  15725