Theorem f0 5583

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 5503	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5038	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3561	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3280	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5381	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 955	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ran crn 4775   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381

This theorem is used by:  f00  5584  f0bi  5585  f10  5674  map0g  6969  ac6sfi  7202  wrd0  11331  gzsum0  13715  gsum0cmn  14156  0met  15487  uhgr0e  16335  uhgr0  16338  griedg0prc  16503