Theorem f0 5527

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 5452	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 4988	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3533	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3259	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5330	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 950	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1397   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ran crn 4726   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330

This theorem is referenced by:  f00  5528  f0bi  5529  f10  5618  map0g  6857  ac6sfi  7087  wrd0  11142  gsum0g  13484  0met  15114  uhgr0e  15939  uhgr0  15942  griedg0prc  16107  gfsum0  16708