ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f0 GIF version

Theorem f0 5195
Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
f0 ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . . 3 ∅ = ∅
2 fn0 5127 . . 3 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
31, 2mpbir 144 . 2 ∅ Fn ∅
4 rn0 4685 . . 3 ran ∅ = ∅
5 0ss 3320 . . 3 ∅ ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3056 . 2 ran ∅ ⊆ 𝐴
7 df-f 5014 . 2 (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
83, 6, 7mpbir2an 888 1 ∅:∅⟶𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wss 2999  c0 3286  ran crn 4437   Fn wfn 5005  wf 5006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014
This theorem is referenced by:  f00  5196  f0bi  5197  f10  5281  map0g  6435  ac6sfi  6604
  Copyright terms: Public domain W3C validator