Theorem f0 5313

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 5242	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 145	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 4795	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3401	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3129	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5127	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 926	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1331   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  ran crn 4540   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127

This theorem is referenced by:  f00  5314  f0bi  5315  f10  5401  map0g  6582  ac6sfi  6792  0met  12553