ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0met Unicode version

Theorem 0met 12567
Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
0met  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )

Proof of Theorem 0met
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 f0 5313 . . 3  |-  (/) : (/) --> RR
3 xp0 4958 . . . 4  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
43feq2i 5266 . . 3  |-  ( (/) : ( (/)  X.  (/) ) --> RR  <->  (/) :
(/) --> RR )
52, 4mpbir 145 . 2  |-  (/) : (
(/)  X.  (/) ) --> RR
6 noel 3367 . . . 4  |-  -.  x  e.  (/)
76pm2.21i 635 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( (
x (/) y )  =  0  <->  x  =  y
) )
87adantr 274 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/) )  ->  (
( x (/) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
96pm2.21i 635 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( x (/) y )  <_  (
( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
1093ad2ant1 1002 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/)  /\  z  e.  (/) )  ->  ( x
(/) y )  <_ 
( ( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
111, 5, 8, 10ismeti 12529 1  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   (/)c0 3363   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632    + caddc 7635    <_ cle 7813   Metcmet 12164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-met 12172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator