ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0met Unicode version

Theorem 0met 14155
Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
0met  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )

Proof of Theorem 0met
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4142 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 f0 5418 . . 3  |-  (/) : (/) --> RR
3 xp0 5060 . . . 4  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
43feq2i 5371 . . 3  |-  ( (/) : ( (/)  X.  (/) ) --> RR  <->  (/) :
(/) --> RR )
52, 4mpbir 146 . 2  |-  (/) : (
(/)  X.  (/) ) --> RR
6 noel 3438 . . . 4  |-  -.  x  e.  (/)
76pm2.21i 647 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( (
x (/) y )  =  0  <->  x  =  y
) )
87adantr 276 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/) )  ->  (
( x (/) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
96pm2.21i 647 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( x (/) y )  <_  (
( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
1093ad2ant1 1019 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/)  /\  z  e.  (/) )  ->  ( x
(/) y )  <_ 
( ( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
111, 5, 8, 10ismeti 14117 1  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   (/)c0 3434   class class class wbr 4015    X. cxp 4636   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823   0cc0 7824    + caddc 7827    <_ cle 8006   Metcmet 13698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-met 13706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator