Theorem 0met 14620

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	|- (/) e. ( Met ` (/) )

Proof of Theorem 0met

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4160	. 2 |- (/) e. _V
2		f0 5448	. . 3 |- (/) : (/) --> RR
3		xp0 5089	. . . 4 |- ( (/) X. (/) ) = (/)
4	3	feq2i 5401	. . 3 |- ( (/) : ( (/) X. (/) ) --> RR <-> (/) : (/) --> RR )
5	2, 4	mpbir 146	. 2 |- (/) : ( (/) X. (/) ) --> RR
6		noel 3454	. . . 4 |- -. x e. (/)
7	6	pm2.21i 647	. . 3 |- ( x e. (/) -> ( ( x (/) y ) = 0 <-> x = y ) )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( x e. (/) /\ y e. (/) ) -> ( ( x (/) y ) = 0 <-> x = y ) )
9	6	pm2.21i 647	. . 3 |- ( x e. (/) -> ( x (/) y ) <_ ( ( z (/) x ) + ( z (/) y ) ) )
10	9	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( x e. (/) /\ y e. (/) /\ z e. (/) ) -> ( x (/) y ) <_ ( ( z (/) x ) + ( z (/) y ) ) )
11	1, 5, 8, 10	ismeti 14582	1 |- (/) e. ( Met ` (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   <_ cle 8062   Metcmet 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-met 14101

This theorem is referenced by: (None)