Theorem 0met 13137

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	|- (/) e. ( Met ` (/) )

Proof of Theorem 0met

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4114	. 2 |- (/) e. _V
2		f0 5386	. . 3 |- (/) : (/) --> RR
3		xp0 5028	. . . 4 |- ( (/) X. (/) ) = (/)
4	3	feq2i 5339	. . 3 |- ( (/) : ( (/) X. (/) ) --> RR <-> (/) : (/) --> RR )
5	2, 4	mpbir 145	. 2 |- (/) : ( (/) X. (/) ) --> RR
6		noel 3418	. . . 4 |- -. x e. (/)
7	6	pm2.21i 641	. . 3 |- ( x e. (/) -> ( ( x (/) y ) = 0 <-> x = y ) )
8	7	adantr 274	. 2 |- ( ( x e. (/) /\ y e. (/) ) -> ( ( x (/) y ) = 0 <-> x = y ) )
9	6	pm2.21i 641	. . 3 |- ( x e. (/) -> ( x (/) y ) <_ ( ( z (/) x ) + ( z (/) y ) ) )
10	9	3ad2ant1 1013	. 2 |- ( ( x e. (/) /\ y e. (/) /\ z e. (/) ) -> ( x (/) y ) <_ ( ( z (/) x ) + ( z (/) y ) ) )
11	1, 5, 8, 10	ismeti 13099	1 |- (/) e. ( Met ` (/) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   class class class wbr 3987   X. cxp 4607   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   + caddc 7764   <_ cle 7942   Metcmet 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-map 6624  df-met 12742

This theorem is referenced by: (None)