Theorem f1co 5335

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5123	. . 3 |- ( F : B -1-1-> C <-> ( F : B --> C /\ Fun `' F ) )
2		df-f1 5123	. . 3 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
3		fco 5283	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4		funco 5158	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun ( `' G o. `' F ) )
5		cnvco 4719	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
6	5	funeqi 5139	. . . . . . 7 |- ( Fun `' ( F o. G ) <-> Fun ( `' G o. `' F ) )
7	4, 6	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun `' ( F o. G ) )
8	7	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( Fun `' F /\ Fun `' G ) -> Fun `' ( F o. G ) )
9	3, 8	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
10	9	an4s 577	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ Fun `' F ) /\ ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
11	1, 2, 10	syl2anb 289	. 2 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
12		df-f1 5123	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-> C <-> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   `'ccnv 4533   o. ccom 4538   Fun wfun 5112   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123

This theorem is referenced by:  f1oco  5383  tposf12  6159  domtr  6672  djudom  6971  difinfsn  6978