Theorem f1co 5551

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5329	. . 3 |- ( F : B -1-1-> C <-> ( F : B --> C /\ Fun `' F ) )
2		df-f1 5329	. . 3 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
3		fco 5497	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4		funco 5364	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun ( `' G o. `' F ) )
5		cnvco 4913	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
6	5	funeqi 5345	. . . . . . 7 |- ( Fun `' ( F o. G ) <-> Fun ( `' G o. `' F ) )
7	4, 6	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun `' ( F o. G ) )
8	7	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( Fun `' F /\ Fun `' G ) -> Fun `' ( F o. G ) )
9	3, 8	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
10	9	an4s 590	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ Fun `' F ) /\ ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
11	1, 2, 10	syl2anb 291	. 2 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
12		df-f1 5329	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-> C <-> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   `'ccnv 4722   o. ccom 4727   Fun wfun 5318   -->wf 5320   -1-1->wf1 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329

This theorem is referenced by:  f1oco  5603  tposf12  6430  domtr  6954  djudom  7283  difinfsn  7290