Theorem f1co 5415

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5203	. . 3 |- ( F : B -1-1-> C <-> ( F : B --> C /\ Fun `' F ) )
2		df-f1 5203	. . 3 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
3		fco 5363	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4		funco 5238	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun ( `' G o. `' F ) )
5		cnvco 4796	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
6	5	funeqi 5219	. . . . . . 7 |- ( Fun `' ( F o. G ) <-> Fun ( `' G o. `' F ) )
7	4, 6	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun `' ( F o. G ) )
8	7	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( Fun `' F /\ Fun `' G ) -> Fun `' ( F o. G ) )
9	3, 8	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
10	9	an4s 583	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ Fun `' F ) /\ ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
11	1, 2, 10	syl2anb 289	. 2 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
12		df-f1 5203	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-> C <-> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   `'ccnv 4610   o. ccom 4615   Fun wfun 5192   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203

This theorem is referenced by:  f1oco  5465  tposf12  6248  domtr  6763  djudom  7070  difinfsn  7077