Theorem f1co 5405

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5193	. . 3 |- ( F : B -1-1-> C <-> ( F : B --> C /\ Fun `' F ) )
2		df-f1 5193	. . 3 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
3		fco 5353	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4		funco 5228	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun ( `' G o. `' F ) )
5		cnvco 4789	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
6	5	funeqi 5209	. . . . . . 7 |- ( Fun `' ( F o. G ) <-> Fun ( `' G o. `' F ) )
7	4, 6	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun `' ( F o. G ) )
8	7	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( Fun `' F /\ Fun `' G ) -> Fun `' ( F o. G ) )
9	3, 8	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
10	9	an4s 578	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ Fun `' F ) /\ ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
11	1, 2, 10	syl2anb 289	. 2 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
12		df-f1 5193	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-> C <-> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   `'ccnv 4603   o. ccom 4608   Fun wfun 5182   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193

This theorem is referenced by:  f1oco  5455  tposf12  6237  domtr  6751  djudom  7058  difinfsn  7065