Theorem tposf12 6355

Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf12	|- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
2		relcnv 5060	. . . . . . 7 |- Rel `' A
3		cnvf1o 6311	. . . . . . 7 |- ( Rel `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4		f1of1 5521	. . . . . . 7 |- ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel A )
7		dfrel2 5133	. . . . . . . 8 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' `' A = A )
9		f1eq3 5478	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
11	5, 10	mpbii 148	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12		f1dm 5486	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
14	13	cnveqd 4854	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' dom F = `' A )
15		mpteq1 4128	. . . . . 6 |- ( `' dom F = `' A -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) )
16		f1eq1 5476	. . . . . 6 |- ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19		f1co 5493	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
20	1, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
21	12	releqd 4759	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( Rel dom F <-> Rel A ) )
22	21	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel dom F )
23		dftpos2 6347	. . . 4 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )
24		f1eq1 5476	. . . 4 |- (tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
26	20, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> tpos F : `' A -1-1-> B )
27	26	ex 115	1 |- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   {csn 3633   U.cuni 3850   |-> cmpt 4105   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   o. ccom 4679   Rel wrel 4680   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270  tpos ctpos 6330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-tpos 6331

This theorem is referenced by:  tposf1o2  6356