Theorem tposf12 6324

Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf12	|- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
2		relcnv 5044	. . . . . . 7 |- Rel `' A
3		cnvf1o 6280	. . . . . . 7 |- ( Rel `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4		f1of1 5500	. . . . . . 7 |- ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel A )
7		dfrel2 5117	. . . . . . . 8 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' `' A = A )
9		f1eq3 5457	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
11	5, 10	mpbii 148	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12		f1dm 5465	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
14	13	cnveqd 4839	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' dom F = `' A )
15		mpteq1 4114	. . . . . 6 |- ( `' dom F = `' A -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) )
16		f1eq1 5455	. . . . . 6 |- ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19		f1co 5472	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
20	1, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
21	12	releqd 4744	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( Rel dom F <-> Rel A ) )
22	21	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel dom F )
23		dftpos2 6316	. . . 4 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )
24		f1eq1 5455	. . . 4 |- (tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
26	20, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> tpos F : `' A -1-1-> B )
27	26	ex 115	1 |- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   {csn 3619   U.cuni 3836   |-> cmpt 4091   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   o. ccom 4664   Rel wrel 4665   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254  tpos ctpos 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300

This theorem is referenced by:  tposf1o2  6325