Theorem tposf12 6540

Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf12	|- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
2		relcnv 5165	. . . . . . 7 |- Rel `' A
3		cnvf1o 6461	. . . . . . 7 |- ( Rel `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4		f1of1 5638	. . . . . . 7 |- ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel A )
7		dfrel2 5238	. . . . . . . 8 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' `' A = A )
9		f1eq3 5595	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
11	5, 10	mpbii 148	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12		f1dm 5603	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
14	13	cnveqd 4956	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' dom F = `' A )
15		mpteq1 4215	. . . . . 6 |- ( `' dom F = `' A -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) )
16		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19		f1co 5610	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
20	1, 18, 19	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
21	12	releqd 4859	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( Rel dom F <-> Rel A ) )
22	21	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel dom F )
23		dftpos2 6532	. . . 4 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )
24		f1eq1 5593	. . . 4 |- (tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
26	20, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> tpos F : `' A -1-1-> B )
27	26	ex 115	1 |- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   {csn 3709   U.cuni 3935   |-> cmpt 4192   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   o. ccom 4778   Rel wrel 4779   -1-1->wf1 5374   -1-1-onto->wf1o 5376  tpos ctpos 6515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516

This theorem is used by:  tposf1o2  6541