Theorem tposf12 6248

Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf12	|- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
2		relcnv 4989	. . . . . . 7 |- Rel `' A
3		cnvf1o 6204	. . . . . . 7 |- ( Rel `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4		f1of1 5441	. . . . . . 7 |- ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel A )
7		dfrel2 5061	. . . . . . . 8 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
8	6, 7	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' `' A = A )
9		f1eq3 5400	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
11	5, 10	mpbii 147	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12		f1dm 5408	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
14	13	cnveqd 4787	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' dom F = `' A )
15		mpteq1 4073	. . . . . 6 |- ( `' dom F = `' A -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) )
16		f1eq1 5398	. . . . . 6 |- ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
18	11, 17	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19		f1co 5415	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
20	1, 18, 19	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
21	12	releqd 4695	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( Rel dom F <-> Rel A ) )
22	21	biimparc 297	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel dom F )
23		dftpos2 6240	. . . 4 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )
24		f1eq1 5398	. . . 4 |- (tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
26	20, 25	mpbird 166	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> tpos F : `' A -1-1-> B )
27	26	ex 114	1 |- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   {csn 3583   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   o. ccom 4615   Rel wrel 4616   -1-1->wf1 5195   -1-1-onto->wf1o 5197  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-tpos 6224

This theorem is referenced by:  tposf1o2  6249