Theorem tposf12 6513

Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf12	|- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
2		relcnv 5145	. . . . . . 7 |- Rel `' A
3		cnvf1o 6434	. . . . . . 7 |- ( Rel `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4		f1of1 5618	. . . . . . 7 |- ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel A )
7		dfrel2 5218	. . . . . . . 8 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' `' A = A )
9		f1eq3 5575	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
11	5, 10	mpbii 148	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12		f1dm 5583	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
14	13	cnveqd 4936	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> `' dom F = `' A )
15		mpteq1 4199	. . . . . 6 |- ( `' dom F = `' A -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) )
16		f1eq1 5573	. . . . . 6 |- ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) = ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A <-> ( x e. `' A |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19		f1co 5590	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
20	1, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
21	12	releqd 4839	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( Rel dom F <-> Rel A ) )
22	21	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> Rel dom F )
23		dftpos2 6505	. . . 4 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )
24		f1eq1 5573	. . . 4 |- (tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> (tpos F : `' A -1-1-> B <-> ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
26	20, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A -1-1-> B ) -> tpos F : `' A -1-1-> B )
27	26	ex 115	1 |- ( Rel A -> ( F : A -1-1-> B -> tpos F : `' A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   {csn 3694   U.cuni 3919   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   o. ccom 4758   Rel wrel 4759   -1-1->wf1 5354   -1-1-onto->wf1o 5356  tpos ctpos 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489

This theorem is referenced by:  tposf1o2  6514