ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposf12 Unicode version

Theorem tposf12 6034
Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf12  |-  ( Rel 
A  ->  ( F : A -1-1-> B  -> tpos  F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F : A -1-1-> B )
2 relcnv 4810 . . . . . . 7  |-  Rel  `' A
3 cnvf1o 5990 . . . . . . 7  |-  ( Rel  `' A  ->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4 f1of1 5252 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  `' A  |-> 
U. `' { x } ) : `' A
-1-1-onto-> `' `' A  ->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
52, 3, 4mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  Rel  A )
7 dfrel2 4881 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  <->  `' `' A  =  A
)
86, 7sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' `' A  =  A
)
9 f1eq3 5213 . . . . . . 7  |-  ( `' `' A  =  A  ->  ( ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A  <->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A
) )
108, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A  <->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A
) )
115, 10mpbii 146 . . . . 5  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12 f1dm 5221 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  dom  F  =  A )
131, 12syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  dom  F  =  A )
1413cnveqd 4612 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' dom  F  =  `' A )
15 mpteq1 3922 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  =  `' A  ->  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) )
16 f1eq1 5211 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  `' A  |-> 
U. `' { x } )  ->  (
( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A  <->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A
) )
1714, 15, 163syl 17 . . . . 5  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A  <->  ( x  e.  `' A  |-> 
U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
1811, 17mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19 f1co 5228 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )  -> 
( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
201, 18, 19syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
2112releqd 4522 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( Rel  dom  F  <->  Rel  A ) )
2221biimparc 293 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  Rel  dom  F )
23 dftpos2 6026 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
24 f1eq1 5211 . . . 4  |-  (tpos  F  =  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) )  -> 
(tpos  F : `' A -1-1-> B  <->  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
2522, 23, 243syl 17 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
(tpos  F : `' A -1-1-> B  <->  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
2620, 25mpbird 165 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> tpos  F : `' A -1-1-> B
)
2726ex 113 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( F : A -1-1-> B  -> tpos  F : `' A -1-1-> B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   {csn 3446   U.cuni 3653    |-> cmpt 3899   `'ccnv 4437   dom cdm 4438    o. ccom 4442   Rel wrel 4443   -1-1->wf1 5012   -1-1-onto->wf1o 5014  tpos ctpos 6009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-tpos 6010
This theorem is referenced by:  tposf1o2  6035
  Copyright terms: Public domain W3C validator