Theorem djudom 7086

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	|- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Proof of Theorem djudom

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6743	. . 3 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> E. f f : A -1-1-> B )
3		brdomi 6743	. . . 4 |- ( C ~<_ D -> E. g g : C -1-1-> D )
4	3	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> E. g g : C -1-1-> D )
5		inlresf1 7054	. . . . . . . . 9 |- (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D )
6		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> f : A -1-1-> B )
7		f1co 5429	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
9		inrresf1 7055	. . . . . . . . 9 |- (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D )
10		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> g : C -1-1-> D )
11		f1co 5429	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
13		rnco 5131	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran ( (inl |` B ) |` ran f )
14		f1rn 5418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-> B -> ran f C_ B )
15	14	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran f C_ B )
16		resabs1 4932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran f C_ B -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
18	17	rneqd 4852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) |` ran f ) = ran (inl |` ran f ) )
19	13, 18	eqtrid 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran (inl |` ran f ) )
20		rnco 5131	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran ( (inr |` D ) |` ran g )
21		f1rn 5418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : C -1-1-> D -> ran g C_ D )
22		resabs1 4932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran g C_ D -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
24	23	rneqd 4852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) |` ran g ) = ran (inr |` ran g ) )
25	20, 24	eqtrid 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran (inr |` ran g ) )
26	19, 25	ineq12d 3337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) )
27		djuinr 7056	. . . . . . . . 9 |- ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) = (/)
28	26, 27	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = (/) )
29	8, 12, 28	casef1 7083	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
30		f1f 5417	. . . . . . 7 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
32		reldom 6739	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
33	32	brrelex1i 4666	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> A e. _V )
35	32	brrelex1i 4666	. . . . . . . 8 |- ( C ~<_ D -> C e. _V )
36	35	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> C e. _V )
37		djuex 7036	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
39		fex 5741	. . . . . 6 |- ( (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) /\ ( A ⊔ C ) e. _V ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
40	31, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
41		f1eq1 5412	. . . . . 6 |- ( h = case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) -> ( h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) <-> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
42	41	spcegv 2825	. . . . 5 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V -> (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
44	32	brrelex2i 4667	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
45	44	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> B e. _V )
46	32	brrelex2i 4667	. . . . . 6 |- ( C ~<_ D -> D e. _V )
47	46	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> D e. _V )
48		djuex 7036	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B ⊔ D ) e. _V )
49		brdomg 6742	. . . . . 6 |- ( ( B ⊔ D ) e. _V -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
51	45, 47, 50	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
52	43, 51	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
53	4, 52	exlimddv 1898	. 2 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
54	2, 53	exlimddv 1898	1 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   class class class wbr 4000   ran crn 4624   |` cres 4625   o. ccom 4627   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   ~<_ cdom 6733   ⊔ cdju 7030  inlcinl 7038  inrcinr 7039  casecdjucase 7076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-dom 6736  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7195  exmidfodomrlemrALT  7196  sbthom  14430