Theorem djudom 7058

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	|- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Proof of Theorem djudom

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6715	. . 3 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> E. f f : A -1-1-> B )
3		brdomi 6715	. . . 4 |- ( C ~<_ D -> E. g g : C -1-1-> D )
4	3	ad2antlr 481	. . 3 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> E. g g : C -1-1-> D )
5		inlresf1 7026	. . . . . . . . 9 |- (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D )
6		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> f : A -1-1-> B )
7		f1co 5405	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
8	5, 6, 7	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
9		inrresf1 7027	. . . . . . . . 9 |- (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D )
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> g : C -1-1-> D )
11		f1co 5405	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
12	9, 10, 11	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
13		rnco 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran ( (inl |` B ) |` ran f )
14		f1rn 5394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-> B -> ran f C_ B )
15	14	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran f C_ B )
16		resabs1 4913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran f C_ B -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
18	17	rneqd 4833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) |` ran f ) = ran (inl |` ran f ) )
19	13, 18	syl5eq 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran (inl |` ran f ) )
20		rnco 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran ( (inr |` D ) |` ran g )
21		f1rn 5394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : C -1-1-> D -> ran g C_ D )
22		resabs1 4913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran g C_ D -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
24	23	rneqd 4833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) |` ran g ) = ran (inr |` ran g ) )
25	20, 24	syl5eq 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran (inr |` ran g ) )
26	19, 25	ineq12d 3324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) )
27		djuinr 7028	. . . . . . . . 9 |- ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) = (/)
28	26, 27	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = (/) )
29	8, 12, 28	casef1 7055	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
30		f1f 5393	. . . . . . 7 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
32		reldom 6711	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
33	32	brrelex1i 4647	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
34	33	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> A e. _V )
35	32	brrelex1i 4647	. . . . . . . 8 |- ( C ~<_ D -> C e. _V )
36	35	ad3antlr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> C e. _V )
37		djuex 7008	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
38	34, 36, 37	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
39		fex 5714	. . . . . 6 |- ( (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) /\ ( A ⊔ C ) e. _V ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
40	31, 38, 39	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
41		f1eq1 5388	. . . . . 6 |- ( h = case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) -> ( h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) <-> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
42	41	spcegv 2814	. . . . 5 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V -> (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
44	32	brrelex2i 4648	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
45	44	ad3antrrr 484	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> B e. _V )
46	32	brrelex2i 4648	. . . . . 6 |- ( C ~<_ D -> D e. _V )
47	46	ad3antlr 485	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> D e. _V )
48		djuex 7008	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B ⊔ D ) e. _V )
49		brdomg 6714	. . . . . 6 |- ( ( B ⊔ D ) e. _V -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
51	45, 47, 50	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
52	43, 51	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
53	4, 52	exlimddv 1886	. 2 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
54	2, 53	exlimddv 1886	1 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   ran crn 4605   |` cres 4606   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   ~<_ cdom 6705   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010  inrcinr 7011  casecdjucase 7048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dom 6708  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7158  exmidfodomrlemrALT  7159  sbthom  13905