Theorem djudom 7070

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	|- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Proof of Theorem djudom

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6727	. . 3 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> E. f f : A -1-1-> B )
3		brdomi 6727	. . . 4 |- ( C ~<_ D -> E. g g : C -1-1-> D )
4	3	ad2antlr 486	. . 3 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> E. g g : C -1-1-> D )
5		inlresf1 7038	. . . . . . . . 9 |- (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D )
6		simplr 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> f : A -1-1-> B )
7		f1co 5415	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
8	5, 6, 7	sylancr 412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
9		inrresf1 7039	. . . . . . . . 9 |- (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D )
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> g : C -1-1-> D )
11		f1co 5415	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
12	9, 10, 11	sylancr 412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
13		rnco 5117	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran ( (inl |` B ) |` ran f )
14		f1rn 5404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-> B -> ran f C_ B )
15	14	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran f C_ B )
16		resabs1 4920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran f C_ B -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
18	17	rneqd 4840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) |` ran f ) = ran (inl |` ran f ) )
19	13, 18	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran (inl |` ran f ) )
20		rnco 5117	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran ( (inr |` D ) |` ran g )
21		f1rn 5404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : C -1-1-> D -> ran g C_ D )
22		resabs1 4920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran g C_ D -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
24	23	rneqd 4840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) |` ran g ) = ran (inr |` ran g ) )
25	20, 24	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran (inr |` ran g ) )
26	19, 25	ineq12d 3329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) )
27		djuinr 7040	. . . . . . . . 9 |- ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) = (/)
28	26, 27	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = (/) )
29	8, 12, 28	casef1 7067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
30		f1f 5403	. . . . . . 7 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
32		reldom 6723	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
33	32	brrelex1i 4654	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
34	33	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> A e. _V )
35	32	brrelex1i 4654	. . . . . . . 8 |- ( C ~<_ D -> C e. _V )
36	35	ad3antlr 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> C e. _V )
37		djuex 7020	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
38	34, 36, 37	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
39		fex 5725	. . . . . 6 |- ( (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) /\ ( A ⊔ C ) e. _V ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
40	31, 38, 39	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
41		f1eq1 5398	. . . . . 6 |- ( h = case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) -> ( h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) <-> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
42	41	spcegv 2818	. . . . 5 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V -> (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
44	32	brrelex2i 4655	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
45	44	ad3antrrr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> B e. _V )
46	32	brrelex2i 4655	. . . . . 6 |- ( C ~<_ D -> D e. _V )
47	46	ad3antlr 490	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> D e. _V )
48		djuex 7020	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B ⊔ D ) e. _V )
49		brdomg 6726	. . . . . 6 |- ( ( B ⊔ D ) e. _V -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
51	45, 47, 50	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
52	43, 51	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
53	4, 52	exlimddv 1891	. 2 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
54	2, 53	exlimddv 1891	1 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ran crn 4612   |` cres 4613   o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   ~<_ cdom 6717   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023  casecdjucase 7060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dom 6720  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7179  exmidfodomrlemrALT  7180  sbthom  14058