Theorem f1oco 5524

Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oco	|- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 5262	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) )
2		df-f1o 5262	. . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
3		f1co 5472	. . . . 5 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )
4		foco 5488	. . . . 5 |- ( ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -onto-> C )
5	3, 4	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
6	5	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) /\ ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
7	1, 2, 6	syl2anb 291	. 2 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
8		df-f1o 5262	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C <-> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   o. ccom 4664   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262

This theorem is referenced by:  isotr  5860  ener  6835  hashfacen  10910  nnf1o  11522  summodclem3  11526  fsumf1o  11536  prodmodclem3  11721  fprodf1o  11734  eulerthlemh  12372