Theorem f1oco 5455

Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oco	|- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 5195	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) )
2		df-f1o 5195	. . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
3		f1co 5405	. . . . 5 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )
4		foco 5420	. . . . 5 |- ( ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -onto-> C )
5	3, 4	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
6	5	an4s 578	. . 3 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) /\ ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
7	1, 2, 6	syl2anb 289	. 2 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
8		df-f1o 5195	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C <-> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
9	7, 8	sylibr 133	1 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   o. ccom 4608   -1-1->wf1 5185   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  isotr  5784  ener  6745  hashfacen  10749  nnf1o  11317  summodclem3  11321  fsumf1o  11331  prodmodclem3  11516  fprodf1o  11529  eulerthlemh  12163