ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oco Unicode version

Theorem f1oco 5503
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 5242 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C ) )
2 df-f1o 5242 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )
3 f1co 5452 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-> C )
4 foco 5467 . . . . 5  |-  ( ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -onto-> C )
53, 4anim12i 338 . . . 4  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
65an4s 588 . . 3  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C )  /\  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
71, 2, 6syl2anb 291 . 2  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  (
( F  o.  G
) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G
) : A -onto-> C
) )
8 df-f1o 5242 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C  <->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
97, 8sylibr 134 1  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    o. ccom 4648   -1-1->wf1 5232   -onto->wfo 5233   -1-1-onto->wf1o 5234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242
This theorem is referenced by:  isotr  5838  ener  6805  hashfacen  10848  nnf1o  11416  summodclem3  11420  fsumf1o  11430  prodmodclem3  11615  fprodf1o  11628  eulerthlemh  12263
  Copyright terms: Public domain W3C validator