Theorem f1co 5475

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶)

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5263	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ Fun ◡𝐹))
2		df-f1 5263	. . 3 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺))
3		fco 5423	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4		funco 5298	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ Fun ◡𝐹) → Fun (◡𝐺 ∘ ◡𝐹))
5		cnvco 4851	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
6	5	funeqi 5279	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ↔ Fun (◡𝐺 ∘ ◡𝐹))
7	4, 6	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ Fun ◡𝐹) → Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺))
8	7	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ Fun ◡𝐺) → Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺))
9	3, 8	anim12i 338	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) ∧ (Fun ◡𝐹 ∧ Fun ◡𝐺)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
10	9	an4s 588	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
11	1, 2, 10	syl2anb 291	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
12		df-f1 5263	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
13	11, 12	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ^◡ccnv 4662   ∘ ccom 4667  Fun wfun 5252  ⟶wf 5254  –1-1→wf1 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263

This theorem is referenced by:  f1oco  5527  tposf12  6327  domtr  6844  djudom  7159  difinfsn  7166