ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1co GIF version

Theorem f1co 5344
Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 df-f1 5132 . . 3 (𝐹:𝐵1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐹))
2 df-f1 5132 . . 3 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
3 fco 5292 . . . . 5 ((𝐹:𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴𝐶)
4 funco 5167 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐺𝐹))
5 cnvco 4728 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
65funeqi 5148 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐺) ↔ Fun (𝐺𝐹))
74, 6sylibr 133 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐹𝐺))
87ancoms 266 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
93, 8anim12i 336 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
109an4s 578 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
111, 2, 10syl2anb 289 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
12 df-f1 5132 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
1311, 12sylibr 133 1 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  ccnv 4542  ccom 4547  Fun wfun 5121  wf 5123  1-1wf1 5124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132
This theorem is referenced by:  f1oco  5394  tposf12  6170  domtr  6683  djudom  6982  difinfsn  6989
  Copyright terms: Public domain W3C validator