Theorem f1dmex 5903

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1rn 5232	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ran F C_ B )
2		ssexg 3986	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ B /\ B e. C ) -> ran F e. _V )
3	1, 2	sylan 278	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> ran F e. _V )
4	3	ex 114	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( B e. C -> ran F e. _V ) )
5		f1cnv 5292	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> `' F : ran F -1-1-onto-> A )
6		f1ofo 5275	. . . . 5 |- ( `' F : ran F -1-1-onto-> A -> `' F : ran F -onto-> A )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> `' F : ran F -onto-> A )
8		fornex 5902	. . . 4 |- ( ran F e. _V -> ( `' F : ran F -onto-> A -> A e. _V ) )
9	7, 8	syl5com 29	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ran F e. _V -> A e. _V ) )
10	4, 9	syld 45	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> ( B e. C -> A e. _V ) )
11	10	imp 123	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1439   _Vcvv 2622   C_ wss 3002   `'ccnv 4453   ran crn 4455   -1-1->wf1 5027   -onto->wfo 5028   -1-1-onto->wf1o 5029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038

This theorem is referenced by:  f1domg  6531