Theorem f1domg 6736

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 6095	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )
2		f1f 5403	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
3		fex 5725	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
5	1, 4	syldan 280	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> F e. _V )
6	5	expcom 115	. . 3 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> F e. _V ) )
7		f1eq1 5398	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
8	7	spcegv 2818	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
9	6, 8	syli 37	. 2 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
10		brdomg 6726	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	9, 10	sylibrd 168	1 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   ~<_ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-dom 6720

This theorem is referenced by:  f1dom  6738  dom2d  6751  exmidsbthrlem  14054