ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1domg Unicode version

Theorem f1domg 6645
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1dmex 6007 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  _V )
2 f1f 5323 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
3 fex 5640 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
42, 3sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
51, 4syldan 280 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  F  e.  _V )
65expcom 115 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  F  e.  _V )
)
7 f1eq1 5318 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  F : A -1-1-> B ) )
87spcegv 2769 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
96, 8syli 37 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
10 brdomg 6635 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
119, 10sylibrd 168 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1468    e. wcel 1480   _Vcvv 2681   class class class wbr 3924   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115    ~<_ cdom 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-dom 6629
This theorem is referenced by:  f1dom  6647  dom2d  6660  exmidsbthrlem  13202
  Copyright terms: Public domain W3C validator