Theorem f1domg 6924

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 6271	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )
2		f1f 5537	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
3		fex 5876	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
5	1, 4	syldan 282	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> F e. _V )
6	5	expcom 116	. . 3 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> F e. _V ) )
7		f1eq1 5532	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
8	7	spcegv 2892	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
9	6, 8	syli 37	. 2 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
10		brdomg 6912	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	9, 10	sylibrd 169	1 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   class class class wbr 4084   -->wf 5318   -1-1->wf1 5319   ~<_ cdom 6901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-dom 6904

This theorem is referenced by:  f1dom  6926  dom2d  6939  usgriedgdomord  16060  uspgredgdomord  16064  exmidsbthrlem  16536