Theorem f1domg 6660

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 6022	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )
2		f1f 5336	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
3		fex 5655	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
5	1, 4	syldan 280	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> F e. _V )
6	5	expcom 115	. . 3 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> F e. _V ) )
7		f1eq1 5331	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
8	7	spcegv 2777	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
9	6, 8	syli 37	. 2 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
10		brdomg 6650	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	9, 10	sylibrd 168	1 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   -->wf 5127   -1-1->wf1 5128   ~<_ cdom 6641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-dom 6644

This theorem is referenced by:  f1dom  6662  dom2d  6675  exmidsbthrlem  13392