Theorem f1domg 6473

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 5887	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )
2		f1f 5216	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
3		fex 5524	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
4	2, 3	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
5	1, 4	syldan 276	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> F e. _V )
6	5	expcom 114	. . 3 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> F e. _V ) )
7		f1eq1 5211	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
8	7	spcegv 2707	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
9	6, 8	syli 37	. 2 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
10		brdomg 6463	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	9, 10	sylibrd 167	1 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012   ~<_ cdom 6454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-dom 6457

This theorem is referenced by:  f1dom  6475  dom2d  6488  exmidsbthrlem  11867