ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  focdmex Unicode version

Theorem focdmex 10249
Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
focdmex  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  _V )

Proof of Theorem focdmex
StepHypRef Expression
1 fof 5246 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
21anim2i 335 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( A  e.  V  /\  F : A
--> B ) )
32ancomd 264 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( F : A
--> B  /\  A  e.  V ) )
4 fex 5538 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
5 rnexg 4711 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ran  F  e.  _V )
63, 4, 53syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ran  F  e.  _V )
7 forn 5249 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
87eleq1d 2157 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
98adantl 272 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( ran  F  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
106, 9mpbid 146 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1439   _Vcvv 2620   ran crn 4452   -->wf 5024   -onto->wfo 5026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator