Theorem focdmex 10725

Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 5422	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
2	1	anim2i 340	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( A e. V /\ F : A --> B ) )
3	2	ancomd 265	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( F : A --> B /\ A e. V ) )
4		fex 5729	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V )
5		rnexg 4877	. . 3 |- ( F e. _V -> ran F e. _V )
6	3, 4, 5	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ran F e. _V )
7		forn 5425	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
8	7	eleq1d 2240	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
9	8	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	6, 9	mpbid 146	1 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2142   _Vcvv 2731   ran crn 4613   -->wf 5196   -onto->wfo 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208

This theorem is referenced by:  ennnfonelemj0  12360  ennnfonelemg  12362