Theorem focdmex 6119

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5441	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6118	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 29	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5440	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5373	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2246	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5443	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2246	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 202	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 30	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   dom cdm 4628   ran crn 4629   Fun wfun 5212   -->wf 5214   -onto->wfo 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  f1dmex  6120  f1oeng  6760  ctfoex  7120  ennnfonelemj0  12405  ennnfonelemg  12407  omctfn  12447  imasival  12733  imasbas  12734  imasplusg  12735