ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  focdmex Unicode version

Theorem focdmex 6141
Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
focdmex  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)

Proof of Theorem focdmex
StepHypRef Expression
1 fofun 5458 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  Fun  F )
2 funrnex 6140 . . . 4  |-  ( dom 
F  e.  C  -> 
( Fun  F  ->  ran 
F  e.  _V )
)
31, 2syl5com 29 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C  ->  ran  F  e.  _V ) )
4 fof 5457 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
5 fdm 5390 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  dom  F  =  A )
76eleq1d 2258 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C 
<->  A  e.  C ) )
8 forn 5460 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
98eleq1d 2258 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
103, 7, 93imtr3d 202 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  C  ->  B  e.  _V )
)
1110com12 30 1  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   dom cdm 4644   ran crn 4645   Fun wfun 5229   -->wf 5231   -onto->wfo 5233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243
This theorem is referenced by:  f1dmex  6142  f1oeng  6784  ctfoex  7148  ennnfonelemj0  12455  ennnfonelemg  12457  omctfn  12497  imasival  12786  imasbas  12787  imasplusg  12788
  Copyright terms: Public domain W3C validator