Theorem focdmex 10700

Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 5410	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
2	1	anim2i 340	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( A e. V /\ F : A --> B ) )
3	2	ancomd 265	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( F : A --> B /\ A e. V ) )
4		fex 5714	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V )
5		rnexg 4869	. . 3 |- ( F e. _V -> ran F e. _V )
6	3, 4, 5	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ran F e. _V )
7		forn 5413	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
8	7	eleq1d 2235	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
9	8	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	6, 9	mpbid 146	1 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   ran crn 4605   -->wf 5184   -onto->wfo 5186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  ennnfonelemj0  12334  ennnfonelemg  12336