Theorem focdmex 10249

Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 5246	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
2	1	anim2i 335	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( A e. V /\ F : A --> B ) )
3	2	ancomd 264	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( F : A --> B /\ A e. V ) )
4		fex 5538	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V )
5		rnexg 4711	. . 3 |- ( F e. _V -> ran F e. _V )
6	3, 4, 5	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ran F e. _V )
7		forn 5249	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
8	7	eleq1d 2157	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
9	8	adantl 272	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	6, 9	mpbid 146	1 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   ran crn 4452   -->wf 5024   -onto->wfo 5026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036

This theorem is referenced by: (None)