Theorem focdmex 6334

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5611	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6333	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 29	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5610	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5534	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2307	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5613	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2307	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 202	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 30	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   dom cdm 4769   ran crn 4770   Fun wfun 5366   -->wf 5368   -onto->wfo 5370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  f1dmex  6335  f1oeng  7033  ctfoex  7448  ennnfonelemj0  13270  ennnfonelemg  13272  omctfn  13312  imasival  13604  imasbas  13605  imasplusg  13606