Theorem focdmex 6169

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5478	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6168	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 29	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5477	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5410	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2262	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5480	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2262	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 202	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 30	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   dom cdm 4660   ran crn 4661   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -onto->wfo 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  f1dmex  6170  f1oeng  6813  ctfoex  7179  ennnfonelemj0  12561  ennnfonelemg  12563  omctfn  12603  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894