Theorem focdmex 6308

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5591	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6307	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 29	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5590	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5514	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2301	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5593	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2301	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 202	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 30	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   dom cdm 4749   ran crn 4750   Fun wfun 5346   -->wf 5348   -onto->wfo 5350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  f1dmex  6309  f1oeng  6996  ctfoex  7409  ennnfonelemj0  13152  ennnfonelemg  13154  omctfn  13194  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521