Theorem f1dmex 6345

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1rn 5599	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		ssexg 4272	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5		f1cnv 5663	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 5646	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
8		focdmex 6344	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
9	7, 8	syl5com 29	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
10	4, 9	syld 45	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
11	10	imp 124	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ^◡ccnv 4773  ran crn 4775  –1-1→wf1 5374  –onto→wfo 5375  –1-1-onto→wf1o 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385

This theorem is used by:  f1domg  7044