Theorem f1dmex 6203

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1rn 5484	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		ssexg 4184	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5		f1cnv 5548	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 5531	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
8		focdmex 6202	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
9	7, 8	syl5com 29	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
10	4, 9	syld 45	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
11	10	imp 124	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ⊆ wss 3166  ^◡ccnv 4675  ran crn 4677  –1-1→wf1 5269  –onto→wfo 5270  –1-1-onto→wf1o 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280

This theorem is referenced by:  f1domg  6851