ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmex GIF version

Theorem f1dmex 5980
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1rn 5297 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
2 ssexg 4035 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
31, 2sylan 279 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
43ex 114 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5 f1cnv 5357 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 5340 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
8 fornex 5979 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
97, 8syl5com 29 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
104, 9syld 45 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1110imp 123 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1463  Vcvv 2658  wss 3039  ccnv 4506  ran crn 4508  1-1wf1 5088  ontowfo 5089  1-1-ontowf1o 5090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  f1domg  6618
  Copyright terms: Public domain W3C validator