Theorem f1dmex 6173

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1rn 5464	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		ssexg 4172	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5		f1cnv 5528	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 5511	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
8		focdmex 6172	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
9	7, 8	syl5com 29	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
10	4, 9	syld 45	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
11	10	imp 124	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ^◡ccnv 4662  ran crn 4664  –1-1→wf1 5255  –onto→wfo 5256  –1-1-onto→wf1o 5257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  f1domg  6817