Theorem f1dmex 6170

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1rn 5461	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		ssexg 4169	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5		f1cnv 5525	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 5508	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
8		focdmex 6169	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
9	7, 8	syl5com 29	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
10	4, 9	syld 45	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
11	10	imp 124	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  ^◡ccnv 4659  ran crn 4661  –1-1→wf1 5252  –onto→wfo 5253  –1-1-onto→wf1o 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  f1domg  6814