ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmex GIF version

Theorem f1dmex 6111
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1rn 5418 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
2 ssexg 4139 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
31, 2sylan 283 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
43ex 115 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5 f1cnv 5481 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 5464 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
8 focdmex 6110 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
97, 8syl5com 29 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
104, 9syld 45 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1110imp 124 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129  ccnv 4622  ran crn 4624  1-1wf1 5209  ontowfo 5210  1-1-ontowf1o 5211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220
This theorem is referenced by:  f1domg  6752
  Copyright terms: Public domain W3C validator