ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmex GIF version

Theorem f1dmex 5869
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1rn 5201 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
2 ssexg 3970 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
31, 2sylan 277 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
43ex 113 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
5 f1cnv 5261 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 5244 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
8 fornex 5868 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
97, 8syl5com 29 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
104, 9syld 44 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1110imp 122 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438  Vcvv 2619  wss 2997  ccnv 4427  ran crn 4429  1-1wf1 4999  ontowfo 5000  1-1-ontowf1o 5001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010
This theorem is referenced by:  f1domg  6455
  Copyright terms: Public domain W3C validator