Theorem fex 5947

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	|- ( ( F : A --> B /\ A e. C ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5533	. 2 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnex 5937	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> F e. _V )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. C ) -> F e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5372   -->wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385

This theorem is used by:  fexd  5948  fsuppeq  6487  tfrcllembex  6629  tfrcl  6635  f1domg  7044  ffsuppbi  7300  djudom  7433  difinfsn  7440  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemfvp  10947  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1olemstep  10951  seq3f1olemp  10952  fihashf1rn  11227  climcvg1nlem  12115  fsum3  12154  fprodseq  12350  cnfldstr  14895  cnfldcj  14902  climcncf  15685  upgr2wlkdc  16618