Theorem fcdmnn0fsupp 9545

Description: A function into NN0 is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsupp	|- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )

Proof of Theorem fcdmnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8264	. . . 4 |- 0 e. _V
2		ffsuppbi 7252	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ 0 e. _V ) -> ( F : I --> NN0 -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( I e. V -> ( F : I --> NN0 -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin ) ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin ) )
5		dfn2 9505	. . . 4 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	5	imaeq2i 5098	. . 3 |- ( `' F " NN ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) )
7	6	eleq1i 2298	. 2 |- ( ( `' F " NN ) e. Fin <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin )
8	4, 7	bitr4di 198	1 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   \ cdif 3207   {csn 3688   class class class wbr 4108   `'ccnv 4747   "cima 4751   -->wf 5347   Fincfn 6974   finSupp cfsupp 7237   0cc0 8123   NNcn 9233   NN0cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435  df-fsupp 7238  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-inn 9234  df-n0 9493

This theorem is referenced by: (None)