Theorem fcdmnn0fsupp 9554

Description: A function into NN0 is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsupp	|- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )

Proof of Theorem fcdmnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8273	. . . 4 |- 0 e. _V
2		ffsuppbi 7255	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ 0 e. _V ) -> ( F : I --> NN0 -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( I e. V -> ( F : I --> NN0 -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin ) ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin ) )
5		dfn2 9514	. . . 4 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	5	imaeq2i 5101	. . 3 |- ( `' F " NN ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) )
7	6	eleq1i 2300	. 2 |- ( ( `' F " NN ) e. Fin <-> ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) e. Fin )
8	4, 7	bitr4di 198	1 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3210   {csn 3691   class class class wbr 4111   `'ccnv 4750   "cima 4754   -->wf 5350   Fincfn 6977   finSupp cfsupp 7240   0cc0 8132   NNcn 9242   NN0cn0 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-supp 6438  df-fsupp 7241  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-inn 9243  df-n0 9502

This theorem is referenced by: (None)