Theorem snopfsuppdc 7224

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snopfsuppdc.x	|- ( ph -> X e. V )
snopfsuppdc.y	|- ( ph -> Y e. W )
snopfsuppdc.z	|- ( ph -> Z e. U )
snopfsuppdc.dc	|- ( ph -> DECID Y = Z )

Assertion

Ref	Expression
snopfsuppdc	|- ( ph -> { <. X , Y >. } finSupp Z )

Proof of Theorem snopfsuppdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snopfsuppdc.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
2		snopfsuppdc.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. W )
3		opexg 4326	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> <. X , Y >. e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> <. X , Y >. e. _V )
5		snexg 4280	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. _V -> { <. X , Y >. } e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> { <. X , Y >. } e. _V )
7		snopfsuppdc.z	. 2 |- ( ph -> Z e. U )
8		funsng 5383	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> Fun { <. X , Y >. } )
9	1, 2, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> Fun { <. X , Y >. } )
10		eqid 2231	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = { <. X , Y >. }
11		snopfsuppdc.dc	. . . 4 |- ( ph -> DECID Y = Z )
12	10, 1, 2, 7, 11	suppsnopdc 6428	. . 3 |- ( ph -> ( { <. X , Y >. } supp Z ) = if ( Y = Z , (/) , { X } ) )
13		0fi 7116	. . . . 5 |- (/) e. Fin
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. Fin )
15		snfig 7032	. . . . 5 |- ( X e. V -> { X } e. Fin )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { X } e. Fin )
17	14, 16, 11	ifcldcd 3647	. . 3 |- ( ph -> if ( Y = Z , (/) , { X } ) e. Fin )
18	12, 17	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ph -> ( { <. X , Y >. } supp Z ) e. Fin )
19	6, 7, 9, 18	isfsuppd 7215	1 |- ( ph -> { <. X , Y >. } finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   <.cop 3676   class class class wbr 4093   Fun wfun 5327  (class class class)co 6028   supp csupp 6413   Fincfn 6952   finSupp cfsupp 7210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-supp 6414  df-1o 6625  df-en 6953  df-fin 6955  df-fsupp 7211

This theorem is referenced by: (None)