Theorem fiinfnf1o 10878

Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. By infnfi 6956 the theorem would also hold if "infinite" were expressed as om ~<_ B. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfnf1o	|- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem fiinfnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofi 7009	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
2	1	ex 115	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
3	2	exlimdv 1833	. 2 |- ( A e. Fin -> ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
4	3	con3dimp 636	1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1506   e. wcel 2167   -1-1-onto->wf1o 5257   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by: (None)