Theorem fiinfnf1o 10564

Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. By infnfi 6797 the theorem would also hold if "infinite" were expressed as om ~<_ B. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfnf1o	|- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem fiinfnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofi 6839	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
2	1	ex 114	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
3	2	exlimdv 1792	. 2 |- ( A e. Fin -> ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
4	3	con3dimp 625	1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1469   e. wcel 1481   -1-1-onto->wf1o 5130   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by: (None)