Theorem fiinfnf1o 10857

Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. By infnfi 6951 the theorem would also hold if "infinite" were expressed as om ~<_ B. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfnf1o	|- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem fiinfnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofi 7002	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
2	1	ex 115	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
3	2	exlimdv 1830	. 2 |- ( A e. Fin -> ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
4	3	con3dimp 636	1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1503   e. wcel 2164   -1-1-onto->wf1o 5253   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)