Theorem fiinfnf1o 10759

Description: There is no bijection between a finite set and an infinite set. By infnfi 6892 the theorem would also hold if "infinite" were expressed as om ~<_ B. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfnf1o	|- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem fiinfnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofi 6939	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
2	1	ex 115	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
3	2	exlimdv 1819	. 2 |- ( A e. Fin -> ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> B e. Fin ) )
4	3	con3dimp 635	1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. Fin ) -> -. E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1492   e. wcel 2148   -1-1-onto->wf1o 5214   Fincfn 6737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-er 6532  df-en 6738  df-fin 6740

This theorem is referenced by: (None)