Theorem infnfi 7004

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	|- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6862	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		omex 4646	. . . . . 6 |- om e. _V
5		ordom 4660	. . . . . . 7 |- Ord om
6		peano2 4648	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> suc n e. om )
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
8		ordelss 4431	. . . . . . 7 |- ( ( Ord om /\ suc n e. om ) -> suc n C_ om )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n C_ om )
10		ssdomg 6880	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( suc n C_ om -> suc n ~<_ om ) )
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ om )
12		domentr 6893	. . . . . 6 |- ( ( om ~<_ A /\ A ~~ n ) -> om ~<_ n )
13	12	ad2ant2rl 511	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> om ~<_ n )
14		domtr 6887	. . . . 5 |- ( ( suc n ~<_ om /\ om ~<_ n ) -> suc n ~<_ n )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ n )
16		php5dom 6972	. . . . 5 |- ( n e. om -> -. suc n ~<_ n )
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. suc n ~<_ n )
18	15, 17	pm2.21dd 621	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A e. Fin )
19	3, 18	rexlimddv 2629	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
20	19	pm2.01da 637	1 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   C_ wss 3168   class class class wbr 4048   Ord word 4414   suc csuc 4417   omcom 4643   ~~ cen 6835   ~<_ cdom 6836   Fincfn 6837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840

This theorem is referenced by:  ominf  7005  hashennnuni  10937