ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnfi Unicode version

Theorem infnfi 6755
Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnfi  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )

Proof of Theorem infnfi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6621 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 119 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
32adantl 273 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
4 omex 4475 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
5 ordom 4488 . . . . . . 7  |-  Ord  om
6 peano2 4477 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
76ad2antrl 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  e. 
om )
8 ordelss 4269 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  om  /\  suc  n  e.  om )  ->  suc  n  C_  om )
95, 7, 8sylancr 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  C_  om )
10 ssdomg 6638 . . . . . 6  |-  ( om  e.  _V  ->  ( suc  n  C_  om  ->  suc  n  ~<_  om ) )
114, 9, 10mpsyl 65 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  ~<_  om )
12 domentr 6651 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  ~~  n )  ->  om  ~<_  n )
1312ad2ant2rl 500 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  om  ~<_  n )
14 domtr 6645 . . . . 5  |-  ( ( suc  n  ~<_  om  /\  om  ~<_  n )  ->  suc  n  ~<_  n )
1511, 13, 14syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  ~<_  n )
16 php5dom 6723 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  -.  suc  n  ~<_  n )
1716ad2antrl 479 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  suc  n  ~<_  n )
1815, 17pm2.21dd 592 . . 3  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  A  e.  Fin )
193, 18rexlimddv 2529 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
2019pm2.01da 608 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   Ord word 4252   suc csuc 4255   omcom 4472    ~~ cen 6598    ~<_ cdom 6599   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  ominf  6756  hashennnuni  10465
  Copyright terms: Public domain W3C validator