Theorem infnfi 6861

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	|- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6727	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantl 275	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		omex 4570	. . . . . 6 |- om e. _V
5		ordom 4584	. . . . . . 7 |- Ord om
6		peano2 4572	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> suc n e. om )
7	6	ad2antrl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
8		ordelss 4357	. . . . . . 7 |- ( ( Ord om /\ suc n e. om ) -> suc n C_ om )
9	5, 7, 8	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n C_ om )
10		ssdomg 6744	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( suc n C_ om -> suc n ~<_ om ) )
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ om )
12		domentr 6757	. . . . . 6 |- ( ( om ~<_ A /\ A ~~ n ) -> om ~<_ n )
13	12	ad2ant2rl 503	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> om ~<_ n )
14		domtr 6751	. . . . 5 |- ( ( suc n ~<_ om /\ om ~<_ n ) -> suc n ~<_ n )
15	11, 13, 14	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ n )
16		php5dom 6829	. . . . 5 |- ( n e. om -> -. suc n ~<_ n )
17	16	ad2antrl 482	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. suc n ~<_ n )
18	15, 17	pm2.21dd 610	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A e. Fin )
19	3, 18	rexlimddv 2588	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
20	19	pm2.01da 626	1 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567   ~~ cen 6704   ~<_ cdom 6705   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  ominf  6862  hashennnuni  10692