Theorem infnfi 6895

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	|- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6761	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		omex 4593	. . . . . 6 |- om e. _V
5		ordom 4607	. . . . . . 7 |- Ord om
6		peano2 4595	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> suc n e. om )
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
8		ordelss 4380	. . . . . . 7 |- ( ( Ord om /\ suc n e. om ) -> suc n C_ om )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n C_ om )
10		ssdomg 6778	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( suc n C_ om -> suc n ~<_ om ) )
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ om )
12		domentr 6791	. . . . . 6 |- ( ( om ~<_ A /\ A ~~ n ) -> om ~<_ n )
13	12	ad2ant2rl 511	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> om ~<_ n )
14		domtr 6785	. . . . 5 |- ( ( suc n ~<_ om /\ om ~<_ n ) -> suc n ~<_ n )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ n )
16		php5dom 6863	. . . . 5 |- ( n e. om -> -. suc n ~<_ n )
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. suc n ~<_ n )
18	15, 17	pm2.21dd 620	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A e. Fin )
19	3, 18	rexlimddv 2599	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
20	19	pm2.01da 636	1 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   Ord word 4363   suc csuc 4366   omcom 4590   ~~ cen 6738   ~<_ cdom 6739   Fincfn 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743

This theorem is referenced by:  ominf  6896  hashennnuni  10759