Theorem infnfi 7065

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	|- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6920	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		omex 4685	. . . . . 6 |- om e. _V
5		ordom 4699	. . . . . . 7 |- Ord om
6		peano2 4687	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> suc n e. om )
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
8		ordelss 4470	. . . . . . 7 |- ( ( Ord om /\ suc n e. om ) -> suc n C_ om )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n C_ om )
10		ssdomg 6938	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( suc n C_ om -> suc n ~<_ om ) )
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ om )
12		domentr 6951	. . . . . 6 |- ( ( om ~<_ A /\ A ~~ n ) -> om ~<_ n )
13	12	ad2ant2rl 511	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> om ~<_ n )
14		domtr 6945	. . . . 5 |- ( ( suc n ~<_ om /\ om ~<_ n ) -> suc n ~<_ n )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ n )
16		php5dom 7032	. . . . 5 |- ( n e. om -> -. suc n ~<_ n )
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. suc n ~<_ n )
18	15, 17	pm2.21dd 623	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A e. Fin )
19	3, 18	rexlimddv 2653	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
20	19	pm2.01da 639	1 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   Ord word 4453   suc csuc 4456   omcom 4682   ~~ cen 6893   ~<_ cdom 6894   Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898

This theorem is referenced by:  ominf  7066  hashennnuni  11009