ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnfi Unicode version

Theorem infnfi 6544
Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnfi  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )

Proof of Theorem infnfi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6411 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 118 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
32adantl 271 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
4 omex 4374 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
5 ordom 4387 . . . . . . 7  |-  Ord  om
6 peano2 4376 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
76ad2antrl 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  e. 
om )
8 ordelss 4173 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  om  /\  suc  n  e.  om )  ->  suc  n  C_  om )
95, 7, 8sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  C_  om )
10 ssdomg 6428 . . . . . 6  |-  ( om  e.  _V  ->  ( suc  n  C_  om  ->  suc  n  ~<_  om ) )
114, 9, 10mpsyl 64 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  ~<_  om )
12 domentr 6441 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  ~~  n )  ->  om  ~<_  n )
1312ad2ant2rl 495 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  om  ~<_  n )
14 domtr 6435 . . . . 5  |-  ( ( suc  n  ~<_  om  /\  om  ~<_  n )  ->  suc  n  ~<_  n )
1511, 13, 14syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  ~<_  n )
16 php5dom 6512 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  -.  suc  n  ~<_  n )
1716ad2antrl 474 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  suc  n  ~<_  n )
1815, 17pm2.21dd 583 . . 3  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  A  e.  Fin )
193, 18rexlimddv 2489 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
2019pm2.01da 598 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1436   E.wrex 2356   _Vcvv 2614    C_ wss 2986   class class class wbr 3814   Ord word 4156   suc csuc 4159   omcom 4371    ~~ cen 6388    ~<_ cdom 6389   Fincfn 6390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393
This theorem is referenced by:  ominf  6545  hashennnuni  10036
  Copyright terms: Public domain W3C validator