ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnfi Unicode version

Theorem infnfi 6757
Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnfi  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )

Proof of Theorem infnfi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6623 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 119 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
32adantl 275 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
4 omex 4477 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
5 ordom 4490 . . . . . . 7  |-  Ord  om
6 peano2 4479 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
76ad2antrl 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  e. 
om )
8 ordelss 4271 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  om  /\  suc  n  e.  om )  ->  suc  n  C_  om )
95, 7, 8sylancr 410 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  C_  om )
10 ssdomg 6640 . . . . . 6  |-  ( om  e.  _V  ->  ( suc  n  C_  om  ->  suc  n  ~<_  om ) )
114, 9, 10mpsyl 65 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  ~<_  om )
12 domentr 6653 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  ~~  n )  ->  om  ~<_  n )
1312ad2ant2rl 502 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  om  ~<_  n )
14 domtr 6647 . . . . 5  |-  ( ( suc  n  ~<_  om  /\  om  ~<_  n )  ->  suc  n  ~<_  n )
1511, 13, 14syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  ~<_  n )
16 php5dom 6725 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  -.  suc  n  ~<_  n )
1716ad2antrl 481 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  suc  n  ~<_  n )
1815, 17pm2.21dd 594 . . 3  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  A  e.  Fin )
193, 18rexlimddv 2531 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
2019pm2.01da 610 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   Ord word 4254   suc csuc 4257   omcom 4474    ~~ cen 6600    ~<_ cdom 6601   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  ominf  6758  hashennnuni  10493
  Copyright terms: Public domain W3C validator