Theorem fihasheqf1oi 11226

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1oi	|- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` B ) )

Proof of Theorem fihasheqf1oi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1odm 5643	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> dom F = A )
2	1	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( dom F e. Fin <-> A e. Fin ) )
3	2	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> dom F e. Fin )
4		f1ofun 5641	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> Fun F )
6		fundmfibi 7252	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
8	3, 7	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F e. Fin )
9		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
10		f1oeq1 5627	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-onto-> B <-> F : A -1-1-onto-> B ) )
11	10	spcegv 2913	. . 3 |- ( F e. Fin -> ( F : A -1-1-onto-> B -> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
12	8, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> E. f f : A -1-1-onto-> B )
13		f1ofi 7257	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
14		hasheqf1o 11224	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` B ) <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
15	13, 14	syldan 282	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` B ) <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377   Fincfn 7022  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-ihash 11215

This theorem is used by:  fihashf1rn  11227  fihasheqf1od  11228  fsum3  12154  2lgslem1  16210