ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihasheqf1oi Unicode version

Theorem fihasheqf1oi 10722
Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihasheqf1oi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  ( `  A )  =  ( `  B ) )

Proof of Theorem fihasheqf1oi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1odm 5446 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  dom  F  =  A )
21eleq1d 2239 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( dom  F  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
32biimparc 297 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  dom  F  e.  Fin )
4 f1ofun 5444 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Fun  F )
54adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  Fun  F )
6 fundmfibi 6916 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  e.  Fin  <->  dom  F  e.  Fin ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  e.  Fin  <->  dom  F  e. 
Fin ) )
83, 7mpbird 166 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  F  e.  Fin )
9 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
10 f1oeq1 5431 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  <->  F : A
-1-1-onto-> B ) )
1110spcegv 2818 . . 3  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B ) )
128, 9, 11sylc 62 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
13 f1ofi 6920 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
14 hasheqf1o 10719 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  A
)  =  ( `  B
)  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> B ) )
1513, 14syldan 280 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  (
( `  A )  =  ( `  B )  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> B
) )
1612, 15mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  ( `  A )  =  ( `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   dom cdm 4611   Fun wfun 5192   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Fincfn 6718  ♯chash 10709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-ihash 10710
This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10723  fihasheqf1od  10724  fsum3  11350
  Copyright terms: Public domain W3C validator