Theorem fihasheqf1oi 11112

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1oi	|- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` B ) )

Proof of Theorem fihasheqf1oi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1odm 5596	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> dom F = A )
2	1	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( dom F e. Fin <-> A e. Fin ) )
3	2	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> dom F e. Fin )
4		f1ofun 5594	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> Fun F )
6		fundmfibi 7180	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
8	3, 7	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F e. Fin )
9		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
10		f1oeq1 5580	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-onto-> B <-> F : A -1-1-onto-> B ) )
11	10	spcegv 2895	. . 3 |- ( F e. Fin -> ( F : A -1-1-onto-> B -> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
12	8, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> E. f f : A -1-1-onto-> B )
13		f1ofi 7185	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
14		hasheqf1o 11110	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` B ) <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
15	13, 14	syldan 282	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` B ) <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   dom cdm 4731   Fun wfun 5327   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   Fincfn 6952  ♯chash 11100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-ihash 11101

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  11113  fihasheqf1od  11114  fsum3  12028  2lgslem1  15910