Theorem fihasheqf1oi 10662

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1oi	|- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` B ) )

Proof of Theorem fihasheqf1oi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1odm 5418	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> dom F = A )
2	1	eleq1d 2226	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( dom F e. Fin <-> A e. Fin ) )
3	2	biimparc 297	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> dom F e. Fin )
4		f1ofun 5416	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
5	4	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> Fun F )
6		fundmfibi 6883	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( F e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
8	3, 7	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F e. Fin )
9		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
10		f1oeq1 5403	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-onto-> B <-> F : A -1-1-onto-> B ) )
11	10	spcegv 2800	. . 3 |- ( F e. Fin -> ( F : A -1-1-onto-> B -> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
12	8, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> E. f f : A -1-1-onto-> B )
13		f1ofi 6887	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )
14		hasheqf1o 10659	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` B ) <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
15	13, 14	syldan 280	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` B ) <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
16	12, 15	mpbird 166	1 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   dom cdm 4586   Fun wfun 5164   -1-1-onto->wf1o 5169   ` cfv 5170   Fincfn 6685  ♯chash 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-recs 6252  df-frec 6338  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-ihash 10650

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10663  fihasheqf1od  10664  fsum3  11284