Theorem fovrnd 5908

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	|- ( ph -> F : ( R X. S ) --> C )
fovrnd.2	|- ( ph -> A e. R )
fovrnd.3	|- ( ph -> B e. S )

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	|- ( ph -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 |- ( ph -> F : ( R X. S ) --> C )
2		fovrnd.2	. 2 |- ( ph -> A e. R )
3		fovrnd.3	. 2 |- ( ph -> B e. S )
4		fovrn 5906	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1216	1 |- ( ph -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   X. cxp 4532   -->wf 5114  (class class class)co 5767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  eroveu  6513  isxmet2d  12506  ismet2  12512  comet  12657  bdmetval  12658  txmetcnp  12676  limccnp2lem  12803  limccnp2cntop  12804