Theorem fovrnd 5968

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	|- ( ph -> F : ( R X. S ) --> C )
fovrnd.2	|- ( ph -> A e. R )
fovrnd.3	|- ( ph -> B e. S )

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	|- ( ph -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 |- ( ph -> F : ( R X. S ) --> C )
2		fovrnd.2	. 2 |- ( ph -> A e. R )
3		fovrnd.3	. 2 |- ( ph -> B e. S )
4		fovrn 5966	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1220	1 |- ( ph -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   X. cxp 4587   -->wf 5169  (class class class)co 5827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-ov 5830

This theorem is referenced by:  eroveu  6574  isxmet2d  12844  ismet2  12850  comet  12995  bdmetval  12996  txmetcnp  13014  limccnp2lem  13141  limccnp2cntop  13142