Theorem isxmet2d 15449

Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: D ( x , y ) = if ( x = y , 0 , -oo ) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmet2d.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
isxmet2d.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> x = y ) )
isxmet2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmet2d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmet2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.0	. 2 |- ( ph -> X e. _V )
2		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
3	2	fovcdmda 6233	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) e. RR* )
4		0xr 8372	. . . 4 |- 0 e. RR*
5		xrletri3 10206	. . . 4 |- ( ( ( x D y ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 417	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
7		isxmet2d.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
8	7	biantrud 304	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
9		isxmet2d.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> x = y ) )
10	6, 8, 9	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
11		isxmet2d.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
12	11	3expa 1234	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
13		rexadd 10254	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
15	12, 14	breqtrrd 4158	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
16	15	anassrs 404	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) e. RR ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
17	3	3adantr3 1189	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) e. RR* )
18		pnfge 10191	. . . . . . 7 |- ( ( x D y ) e. RR* -> ( x D y ) <_ +oo )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ +oo )
20	19	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ +oo )
21		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( ( z D y ) = +oo -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) +e +oo ) )
22	2	ffnd 5534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D Fn ( X X. X ) )
23		elxrge0 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x D y ) ) )
24	3, 7, 23	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
25	24	ralrimivva 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
26		ffnov 6192	. . . . . . . . . . 11 |- ( D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( D Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
27	22, 25, 26	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr3 1036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
30		simpr1 1034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
31	28, 29, 30	fovcdmd 6234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32		elxrge0 10380	. . . . . . . . 9 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( z D x ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D x ) ) )
33	32	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( z D x ) e. RR* )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) e. RR* )
35		renemnf 8374	. . . . . . 7 |- ( ( z D x ) e. RR -> ( z D x ) =/= -oo )
36		xaddpnf1 10248	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR* /\ ( z D x ) =/= -oo ) -> ( ( z D x ) +e +oo ) = +oo )
37	34, 35, 36	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D x ) +e +oo ) = +oo )
38	21, 37	sylan9eqr 2293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = +oo )
39	20, 38	breqtrrd 4158	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
40		simpr2 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
41	28, 29, 40	fovcdmd 6234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
42		elxrge0 10380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( z D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D y ) ) )
43	42	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( z D y ) e. RR* )
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) e. RR* )
45	42	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( z D y ) )
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( z D y ) )
47		ge0nemnf 10226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D y ) ) -> ( z D y ) =/= -oo )
48	44, 46, 47	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) =/= -oo )
49	48	neneqd 2441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> -. ( z D y ) = -oo )
50	49	pm2.21d 628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D y ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
51	50	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D y ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
52	51	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = -oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
53	44	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( z D y ) e. RR* )
54		elxr 10178	. . . . 5 |- ( ( z D y ) e. RR* <-> ( ( z D y ) e. RR \/ ( z D y ) = +oo \/ ( z D y ) = -oo ) )
55	53, 54	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D y ) e. RR \/ ( z D y ) = +oo \/ ( z D y ) = -oo ) )
56	16, 39, 52, 55	mpjao3dan 1348	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
57	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ +oo )
58		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( ( z D x ) = +oo -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( +oo +e ( z D y ) ) )
59		xaddpnf2 10249	. . . . . 6 |- ( ( ( z D y ) e. RR* /\ ( z D y ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( z D y ) ) = +oo )
60	44, 48, 59	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( +oo +e ( z D y ) ) = +oo )
61	58, 60	sylan9eqr 2293	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = +oo )
62	57, 61	breqtrrd 4158	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
63	32	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( z D x ) )
64	31, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( z D x ) )
65		ge0nemnf 10226	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D x ) ) -> ( z D x ) =/= -oo )
66	34, 64, 65	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) =/= -oo )
67	66	neneqd 2441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> -. ( z D x ) = -oo )
68	67	pm2.21d 628	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D x ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
69	68	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = -oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
70		elxr 10178	. . . 4 |- ( ( z D x ) e. RR* <-> ( ( z D x ) e. RR \/ ( z D x ) = +oo \/ ( z D x ) = -oo ) )
71	34, 70	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D x ) e. RR \/ ( z D x ) = +oo \/ ( z D x ) = -oo ) )
72	56, 62, 69, 71	mpjao3dan 1348	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
73	1, 2, 10, 72	isxmetd 15448	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359   <_ cle 8361   +ecxad 10172   [,]cicc 10293   *Metcxmet 14873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-xadd 10175  df-icc 10297  df-xmet 14881

This theorem is used by: (None)