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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isxmet2d | Unicode version |
Description: It is safe to only
require the triangle inequality when the values are
real (so that we can use the standard addition over the reals), but in
this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be
provided separately. (Counterexample:
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Ref | Expression |
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isxmetd.0 |
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isxmetd.1 |
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isxmet2d.2 |
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isxmet2d.3 |
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isxmet2d.4 |
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Ref | Expression |
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isxmet2d |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | isxmetd.0 |
. 2
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2 | isxmetd.1 |
. 2
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3 | 2 | fovcdmda 6014 |
. . . 4
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4 | 0xr 7999 |
. . . 4
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5 | xrletri3 9799 |
. . . 4
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6 | 3, 4, 5 | sylancl 413 |
. . 3
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7 | isxmet2d.2 |
. . . 4
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8 | 7 | biantrud 304 |
. . 3
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9 | isxmet2d.3 |
. . 3
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10 | 6, 8, 9 | 3bitr2d 216 |
. 2
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11 | isxmet2d.4 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | 3expa 1203 |
. . . . . 6
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13 | rexadd 9847 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | adantl 277 |
. . . . . 6
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15 | 12, 14 | breqtrrd 4030 |
. . . . 5
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16 | 15 | anassrs 400 |
. . . 4
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17 | 3 | 3adantr3 1158 |
. . . . . . 7
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18 | pnfge 9784 |
. . . . . . 7
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19 | 17, 18 | syl 14 |
. . . . . 6
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20 | 19 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
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21 | oveq2 5879 |
. . . . . 6
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22 | 2 | ffnd 5364 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | elxrge0 9973 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 3, 7, 23 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | ralrimivva 2559 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | ffnov 5975 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 22, 25, 26 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 27 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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29 | simpr3 1005 |
. . . . . . . . 9
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30 | simpr1 1003 |
. . . . . . . . 9
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31 | 28, 29, 30 | fovcdmd 6015 |
. . . . . . . 8
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32 | elxrge0 9973 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | simplbi 274 |
. . . . . . . 8
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34 | 31, 33 | syl 14 |
. . . . . . 7
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35 | renemnf 8001 |
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36 | xaddpnf1 9841 |
. . . . . . 7
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37 | 34, 35, 36 | syl2an 289 |
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38 | 21, 37 | sylan9eqr 2232 |
. . . . 5
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39 | 20, 38 | breqtrrd 4030 |
. . . 4
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40 | simpr2 1004 |
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41 | 28, 29, 40 | fovcdmd 6015 |
. . . . . . . . . 10
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42 | elxrge0 9973 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 42 | simplbi 274 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 41, 43 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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45 | 42 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 41, 45 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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47 | ge0nemnf 9819 |
. . . . . . . . 9
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48 | 44, 46, 47 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | neneqd 2368 |
. . . . . . 7
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50 | 49 | pm2.21d 619 |
. . . . . 6
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51 | 50 | adantr 276 |
. . . . 5
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52 | 51 | imp 124 |
. . . 4
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53 | 44 | adantr 276 |
. . . . 5
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54 | elxr 9771 |
. . . . 5
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55 | 53, 54 | sylib 122 |
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56 | 16, 39, 52, 55 | mpjao3dan 1307 |
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57 | 19 | adantr 276 |
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58 | oveq1 5878 |
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59 | xaddpnf2 9842 |
. . . . . 6
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60 | 44, 48, 59 | syl2anc 411 |
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61 | 58, 60 | sylan9eqr 2232 |
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62 | 57, 61 | breqtrrd 4030 |
. . 3
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63 | 32 | simprbi 275 |
. . . . . . . 8
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64 | 31, 63 | syl 14 |
. . . . . . 7
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65 | ge0nemnf 9819 |
. . . . . . 7
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66 | 34, 64, 65 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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67 | 66 | neneqd 2368 |
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68 | 67 | pm2.21d 619 |
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69 | 68 | imp 124 |
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70 | elxr 9771 |
. . . 4
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71 | 34, 70 | sylib 122 |
. . 3
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72 | 56, 62, 69, 71 | mpjao3dan 1307 |
. 2
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73 | 1, 2, 10, 72 | isxmetd 13709 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4120 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-cnex 7898 ax-resscn 7899 ax-1re 7901 ax-addrcl 7904 ax-rnegex 7916 ax-pre-ltirr 7919 ax-pre-ltwlin 7920 ax-pre-lttrn 7921 ax-pre-apti 7922 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-id 4292 df-po 4295 df-iso 4296 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5176 df-fun 5216 df-fn 5217 df-f 5218 df-fv 5222 df-ov 5874 df-oprab 5875 df-mpo 5876 df-1st 6137 df-2nd 6138 df-map 6646 df-pnf 7989 df-mnf 7990 df-xr 7991 df-ltxr 7992 df-le 7993 df-xadd 9768 df-icc 9890 df-xmet 13308 |
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