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Theorem isxmet2d 13710
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample:  D ( x ,  y )  =  if ( x  =  y ,  0 , -oo ) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmet2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
isxmet2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
isxmet2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmet2d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, D    ph, x, y, z   
x, X, y, z

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
2 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
32fovcdmda 6014 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  e.  RR* )
4 0xr 7999 . . . 4  |-  0  e.  RR*
5 xrletri3 9799 . . . 4  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
7 isxmet2d.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
87biantrud 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  ( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
9 isxmet2d.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
106, 8, 93bitr2d 216 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
12113expa 1203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( (
z D x )  e.  RR  /\  (
z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) )
13 rexadd 9847 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( ( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1413adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( (
z D x )  e.  RR  /\  (
z D y )  e.  RR ) )  ->  ( ( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1512, 14breqtrrd 4030 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( (
z D x )  e.  RR  /\  (
z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )
1615anassrs 400 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )
1733adantr3 1158 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  e.  RR* )
18 pnfge 9784 . . . . . . 7  |-  ( ( x D y )  e.  RR*  ->  ( x D y )  <_ +oo )
1917, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_ +oo )
2019ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = +oo )  ->  ( x D y )  <_ +oo )
21 oveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( ( z D y )  = +oo  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x ) +e +oo )
)
222ffnd 5364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
23 elxrge0 9973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x D y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x D y ) ) )
243, 7, 23sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2524ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 ffnov 5975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2722, 25, 26sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )
)
2827adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
29 simpr3 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
30 simpr1 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
3128, 29, 30fovcdmd 6015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 elxrge0 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( z D x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( z D x ) ) )
3332simplbi 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( z D x )  e. 
RR* )
3431, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D x )  e.  RR* )
35 renemnf 8001 . . . . . . 7  |-  ( ( z D x )  e.  RR  ->  (
z D x )  =/= -oo )
36 xaddpnf1 9841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR*  /\  (
z D x )  =/= -oo )  -> 
( ( z D x ) +e +oo )  = +oo )
3734, 35, 36syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
( z D x ) +e +oo )  = +oo )
3821, 37sylan9eqr 2232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = +oo )  ->  ( ( z D x ) +e
( z D y ) )  = +oo )
3920, 38breqtrrd 4030 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = +oo )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
40 simpr2 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
4128, 29, 40fovcdmd 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
42 elxrge0 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( z D y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( z D y ) ) )
4342simplbi 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( z D y )  e. 
RR* )
4441, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D y )  e.  RR* )
4542simprbi 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( z D y ) )
4641, 45syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( z D y ) )
47 ge0nemnf 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z D y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D y ) )  ->  (
z D y )  =/= -oo )
4844, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D y )  =/= -oo )
4948neneqd 2368 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  -.  ( z D y )  = -oo )
5049pm2.21d 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z D y )  = -oo  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
5150adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
( z D y )  = -oo  ->  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
5251imp 124 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = -oo )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
5344adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
z D y )  e.  RR* )
54 elxr 9771 . . . . 5  |-  ( ( z D y )  e.  RR*  <->  ( ( z D y )  e.  RR  \/  ( z D y )  = +oo  \/  ( z D y )  = -oo ) )
5553, 54sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
( z D y )  e.  RR  \/  ( z D y )  = +oo  \/  ( z D y )  = -oo )
)
5616, 39, 52, 55mpjao3dan 1307 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
5719adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = +oo )  ->  (
x D y )  <_ +oo )
58 oveq1 5878 . . . . 5  |-  ( ( z D x )  = +oo  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( +oo +e ( z D y ) ) )
59 xaddpnf2 9842 . . . . . 6  |-  ( ( ( z D y )  e.  RR*  /\  (
z D y )  =/= -oo )  -> 
( +oo +e ( z D y ) )  = +oo )
6044, 48, 59syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( +oo +e ( z D y ) )  = +oo )
6158, 60sylan9eqr 2232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = +oo )  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  = +oo )
6257, 61breqtrrd 4030 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = +oo )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
6332simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( z D x ) )
6431, 63syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( z D x ) )
65 ge0nemnf 9819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D x ) )  ->  (
z D x )  =/= -oo )
6634, 64, 65syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D x )  =/= -oo )
6766neneqd 2368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  -.  ( z D x )  = -oo )
6867pm2.21d 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  = -oo  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6968imp 124 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = -oo )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
70 elxr 9771 . . . 4  |-  ( ( z D x )  e.  RR*  <->  ( ( z D x )  e.  RR  \/  ( z D x )  = +oo  \/  ( z D x )  = -oo ) )
7134, 70sylib 122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  e.  RR  \/  ( z D x )  = +oo  \/  ( z D x )  = -oo )
)
7256, 62, 69, 71mpjao3dan 1307 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
731, 2, 10, 72isxmetd 13709 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 977    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   _Vcvv 2737   class class class wbr 4002    X. cxp 4623    Fn wfn 5209   -->wf 5210   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   RRcr 7806   0cc0 7807    + caddc 7810   +oocpnf 7984   -oocmnf 7985   RR*cxr 7986    <_ cle 7988   +ecxad 9765   [,]cicc 9886   *Metcxmet 13300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904  ax-rnegex 7916  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-map 6646  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-xadd 9768  df-icc 9890  df-xmet 13308
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