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Theorem isxmet2d 13741
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample:  D ( x ,  y )  =  if ( x  =  y ,  0 , -oo ) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmet2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
isxmet2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
isxmet2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmet2d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, D    ph, x, y, z   
x, X, y, z

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
2 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
32fovcdmda 6017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  e.  RR* )
4 0xr 8002 . . . 4  |-  0  e.  RR*
5 xrletri3 9802 . . . 4  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
7 isxmet2d.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
87biantrud 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  ( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
9 isxmet2d.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
106, 8, 93bitr2d 216 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
12113expa 1203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( (
z D x )  e.  RR  /\  (
z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) )
13 rexadd 9850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( ( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1413adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( (
z D x )  e.  RR  /\  (
z D y )  e.  RR ) )  ->  ( ( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1512, 14breqtrrd 4031 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( (
z D x )  e.  RR  /\  (
z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )
1615anassrs 400 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )
1733adantr3 1158 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  e.  RR* )
18 pnfge 9787 . . . . . . 7  |-  ( ( x D y )  e.  RR*  ->  ( x D y )  <_ +oo )
1917, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_ +oo )
2019ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = +oo )  ->  ( x D y )  <_ +oo )
21 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( ( z D y )  = +oo  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x ) +e +oo )
)
222ffnd 5366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
23 elxrge0 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x D y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x D y ) ) )
243, 7, 23sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2524ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 ffnov 5978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2722, 25, 26sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )
)
2827adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
29 simpr3 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
30 simpr1 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
3128, 29, 30fovcdmd 6018 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 elxrge0 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( z D x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( z D x ) ) )
3332simplbi 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( z D x )  e. 
RR* )
3431, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D x )  e.  RR* )
35 renemnf 8004 . . . . . . 7  |-  ( ( z D x )  e.  RR  ->  (
z D x )  =/= -oo )
36 xaddpnf1 9844 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR*  /\  (
z D x )  =/= -oo )  -> 
( ( z D x ) +e +oo )  = +oo )
3734, 35, 36syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
( z D x ) +e +oo )  = +oo )
3821, 37sylan9eqr 2232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = +oo )  ->  ( ( z D x ) +e
( z D y ) )  = +oo )
3920, 38breqtrrd 4031 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = +oo )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
40 simpr2 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
4128, 29, 40fovcdmd 6018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
42 elxrge0 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( z D y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( z D y ) ) )
4342simplbi 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( z D y )  e. 
RR* )
4441, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D y )  e.  RR* )
4542simprbi 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z D y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( z D y ) )
4641, 45syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( z D y ) )
47 ge0nemnf 9822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z D y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D y ) )  ->  (
z D y )  =/= -oo )
4844, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D y )  =/= -oo )
4948neneqd 2368 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  -.  ( z D y )  = -oo )
5049pm2.21d 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z D y )  = -oo  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
5150adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
( z D y )  = -oo  ->  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
5251imp 124 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  /\  (
z D x )  e.  RR )  /\  ( z D y )  = -oo )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
5344adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
z D y )  e.  RR* )
54 elxr 9774 . . . . 5  |-  ( ( z D y )  e.  RR*  <->  ( ( z D y )  e.  RR  \/  ( z D y )  = +oo  \/  ( z D y )  = -oo ) )
5553, 54sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
( z D y )  e.  RR  \/  ( z D y )  = +oo  \/  ( z D y )  = -oo )
)
5616, 39, 52, 55mpjao3dan 1307 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  e.  RR )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
5719adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = +oo )  ->  (
x D y )  <_ +oo )
58 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( ( z D x )  = +oo  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( +oo +e ( z D y ) ) )
59 xaddpnf2 9845 . . . . . 6  |-  ( ( ( z D y )  e.  RR*  /\  (
z D y )  =/= -oo )  -> 
( +oo +e ( z D y ) )  = +oo )
6044, 48, 59syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( +oo +e ( z D y ) )  = +oo )
6158, 60sylan9eqr 2232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = +oo )  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  = +oo )
6257, 61breqtrrd 4031 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = +oo )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
6332simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( z D x )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( z D x ) )
6431, 63syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( z D x ) )
65 ge0nemnf 9822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D x ) )  ->  (
z D x )  =/= -oo )
6634, 64, 65syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z D x )  =/= -oo )
6766neneqd 2368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  -.  ( z D x )  = -oo )
6867pm2.21d 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  = -oo  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6968imp 124 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  /\  ( z D x )  = -oo )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
70 elxr 9774 . . . 4  |-  ( ( z D x )  e.  RR*  <->  ( ( z D x )  e.  RR  \/  ( z D x )  = +oo  \/  ( z D x )  = -oo ) )
7134, 70sylib 122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z D x )  e.  RR  \/  ( z D x )  = +oo  \/  ( z D x )  = -oo )
)
7256, 62, 69, 71mpjao3dan 1307 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
731, 2, 10, 72isxmetd 13740 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 977    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   _Vcvv 2737   class class class wbr 4003    X. cxp 4624    Fn wfn 5211   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810    + caddc 7813   +oocpnf 7987   -oocmnf 7988   RR*cxr 7989    <_ cle 7991   +ecxad 9768   [,]cicc 9889   *Metcxmet 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-xadd 9771  df-icc 9893  df-xmet 13339
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