Theorem isxmet2d 14516

Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: D ( x , y ) = if ( x = y , 0 , -oo ) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmet2d.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
isxmet2d.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> x = y ) )
isxmet2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmet2d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmet2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.0	. 2 |- ( ph -> X e. _V )
2		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
3	2	fovcdmda 6062	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) e. RR* )
4		0xr 8066	. . . 4 |- 0 e. RR*
5		xrletri3 9870	. . . 4 |- ( ( ( x D y ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
7		isxmet2d.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
8	7	biantrud 304	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
9		isxmet2d.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> x = y ) )
10	6, 8, 9	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
11		isxmet2d.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
12	11	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
13		rexadd 9918	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
15	12, 14	breqtrrd 4057	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) e. RR ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
17	3	3adantr3 1160	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) e. RR* )
18		pnfge 9855	. . . . . . 7 |- ( ( x D y ) e. RR* -> ( x D y ) <_ +oo )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ +oo )
20	19	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ +oo )
21		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( ( z D y ) = +oo -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) +e +oo ) )
22	2	ffnd 5404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D Fn ( X X. X ) )
23		elxrge0 10044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x D y ) ) )
24	3, 7, 23	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
25	24	ralrimivva 2576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
26		ffnov 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( D Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
27	22, 25, 26	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr3 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
30		simpr1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
31	28, 29, 30	fovcdmd 6063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32		elxrge0 10044	. . . . . . . . 9 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( z D x ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D x ) ) )
33	32	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( z D x ) e. RR* )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) e. RR* )
35		renemnf 8068	. . . . . . 7 |- ( ( z D x ) e. RR -> ( z D x ) =/= -oo )
36		xaddpnf1 9912	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR* /\ ( z D x ) =/= -oo ) -> ( ( z D x ) +e +oo ) = +oo )
37	34, 35, 36	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D x ) +e +oo ) = +oo )
38	21, 37	sylan9eqr 2248	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = +oo )
39	20, 38	breqtrrd 4057	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
40		simpr2 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
41	28, 29, 40	fovcdmd 6063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
42		elxrge0 10044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( z D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D y ) ) )
43	42	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( z D y ) e. RR* )
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) e. RR* )
45	42	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( z D y ) )
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( z D y ) )
47		ge0nemnf 9890	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D y ) ) -> ( z D y ) =/= -oo )
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) =/= -oo )
49	48	neneqd 2385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> -. ( z D y ) = -oo )
50	49	pm2.21d 620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D y ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
51	50	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D y ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
52	51	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = -oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
53	44	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( z D y ) e. RR* )
54		elxr 9842	. . . . 5 |- ( ( z D y ) e. RR* <-> ( ( z D y ) e. RR \/ ( z D y ) = +oo \/ ( z D y ) = -oo ) )
55	53, 54	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D y ) e. RR \/ ( z D y ) = +oo \/ ( z D y ) = -oo ) )
56	16, 39, 52, 55	mpjao3dan 1318	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
57	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ +oo )
58		oveq1 5925	. . . . 5 |- ( ( z D x ) = +oo -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( +oo +e ( z D y ) ) )
59		xaddpnf2 9913	. . . . . 6 |- ( ( ( z D y ) e. RR* /\ ( z D y ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( z D y ) ) = +oo )
60	44, 48, 59	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( +oo +e ( z D y ) ) = +oo )
61	58, 60	sylan9eqr 2248	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = +oo )
62	57, 61	breqtrrd 4057	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
63	32	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( z D x ) )
64	31, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( z D x ) )
65		ge0nemnf 9890	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D x ) ) -> ( z D x ) =/= -oo )
66	34, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) =/= -oo )
67	66	neneqd 2385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> -. ( z D x ) = -oo )
68	67	pm2.21d 620	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D x ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
69	68	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = -oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
70		elxr 9842	. . . 4 |- ( ( z D x ) e. RR* <-> ( ( z D x ) e. RR \/ ( z D x ) = +oo \/ ( z D x ) = -oo ) )
71	34, 70	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D x ) e. RR \/ ( z D x ) = +oo \/ ( z D x ) = -oo ) )
72	56, 62, 69, 71	mpjao3dan 1318	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
73	1, 2, 10, 72	isxmetd 14515	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   + caddc 7875   +oocpnf 8051   -oocmnf 8052   RR*cxr 8053   <_ cle 8055   +ecxad 9836   [,]cicc 9957   *Metcxmet 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-xadd 9839  df-icc 9961  df-xmet 14040

This theorem is referenced by: (None)