Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxmet2d Unicode version

Theorem isxmet2d 12557
 Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0
isxmetd.1
isxmet2d.2
isxmet2d.3
isxmet2d.4
Assertion
Ref Expression
isxmet2d
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2
2 isxmetd.1 . 2
32fovrnda 5922 . . . 4
4 0xr 7837 . . . 4
5 xrletri3 9619 . . . 4
63, 4, 5sylancl 410 . . 3
7 isxmet2d.2 . . . 4
87biantrud 302 . . 3
9 isxmet2d.3 . . 3
106, 8, 93bitr2d 215 . 2
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7
12113expa 1182 . . . . . 6
13 rexadd 9666 . . . . . . 7
1413adantl 275 . . . . . 6
1512, 14breqtrrd 3964 . . . . 5
1615anassrs 398 . . . 4
1733adantr3 1143 . . . . . . 7
18 pnfge 9606 . . . . . . 7
1917, 18syl 14 . . . . . 6
2019ad2antrr 480 . . . . 5
21 oveq2 5790 . . . . . 6
222ffnd 5281 . . . . . . . . . . 11
23 elxrge0 9792 . . . . . . . . . . . . 13
243, 7, 23sylanbrc 414 . . . . . . . . . . . 12
2524ralrimivva 2517 . . . . . . . . . . 11
26 ffnov 5883 . . . . . . . . . . 11
2722, 25, 26sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10
2827adantr 274 . . . . . . . . 9
29 simpr3 990 . . . . . . . . 9
30 simpr1 988 . . . . . . . . 9
3128, 29, 30fovrnd 5923 . . . . . . . 8
32 elxrge0 9792 . . . . . . . . 9
3332simplbi 272 . . . . . . . 8
3431, 33syl 14 . . . . . . 7
35 renemnf 7839 . . . . . . 7
36 xaddpnf1 9660 . . . . . . 7
3734, 35, 36syl2an 287 . . . . . 6
3821, 37sylan9eqr 2195 . . . . 5
3920, 38breqtrrd 3964 . . . 4
40 simpr2 989 . . . . . . . . . . 11
4128, 29, 40fovrnd 5923 . . . . . . . . . 10
42 elxrge0 9792 . . . . . . . . . . 11
4342simplbi 272 . . . . . . . . . 10
4441, 43syl 14 . . . . . . . . 9
4542simprbi 273 . . . . . . . . . 10
4641, 45syl 14 . . . . . . . . 9
47 ge0nemnf 9638 . . . . . . . . 9
4844, 46, 47syl2anc 409 . . . . . . . 8
4948neneqd 2330 . . . . . . 7
5049pm2.21d 609 . . . . . 6
5150adantr 274 . . . . 5
5251imp 123 . . . 4
5344adantr 274 . . . . 5
54 elxr 9594 . . . . 5
5553, 54sylib 121 . . . 4
5616, 39, 52, 55mpjao3dan 1286 . . 3
5719adantr 274 . . . 4
58 oveq1 5789 . . . . 5
59 xaddpnf2 9661 . . . . . 6
6044, 48, 59syl2anc 409 . . . . 5
6158, 60sylan9eqr 2195 . . . 4
6257, 61breqtrrd 3964 . . 3
6332simprbi 273 . . . . . . . 8
6431, 63syl 14 . . . . . . 7
65 ge0nemnf 9638 . . . . . . 7
6634, 64, 65syl2anc 409 . . . . . 6
6766neneqd 2330 . . . . 5
6867pm2.21d 609 . . . 4
6968imp 123 . . 3
70 elxr 9594 . . . 4
7134, 70sylib 121 . . 3
7256, 62, 69, 71mpjao3dan 1286 . 2
731, 2, 10, 72isxmetd 12556 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3o 962   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481   wne 2309  wral 2417  cvv 2689   class class class wbr 3937   cxp 4545   wfn 5126  wf 5127  cfv 5131  (class class class)co 5782  cr 7644  cc0 7645   caddc 7648   cpnf 7822   cmnf 7823  cxr 7824   cle 7826  cxad 9588  cicc 9705  cxmet 12189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1re 7739  ax-addrcl 7742  ax-rnegex 7754  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-xadd 9591  df-icc 9709  df-xmet 12197 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator