Theorem isxmet2d 14527

Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: D ( x , y ) = if ( x = y , 0 , -oo ) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmet2d.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
isxmet2d.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> x = y ) )
isxmet2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmet2d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmet2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.0	. 2 |- ( ph -> X e. _V )
2		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
3	2	fovcdmda 6064	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) e. RR* )
4		0xr 8068	. . . 4 |- 0 e. RR*
5		xrletri3 9873	. . . 4 |- ( ( ( x D y ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
7		isxmet2d.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
8	7	biantrud 304	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
9		isxmet2d.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> x = y ) )
10	6, 8, 9	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
11		isxmet2d.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
12	11	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
13		rexadd 9921	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
15	12, 14	breqtrrd 4058	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( ( z D x ) e. RR /\ ( z D y ) e. RR ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) e. RR ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
17	3	3adantr3 1160	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) e. RR* )
18		pnfge 9858	. . . . . . 7 |- ( ( x D y ) e. RR* -> ( x D y ) <_ +oo )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ +oo )
20	19	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ +oo )
21		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( ( z D y ) = +oo -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) +e +oo ) )
22	2	ffnd 5405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D Fn ( X X. X ) )
23		elxrge0 10047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x D y ) ) )
24	3, 7, 23	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
25	24	ralrimivva 2576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
26		ffnov 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( D Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x D y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
27	22, 25, 26	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr3 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
30		simpr1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
31	28, 29, 30	fovcdmd 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32		elxrge0 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( z D x ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D x ) ) )
33	32	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( z D x ) e. RR* )
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) e. RR* )
35		renemnf 8070	. . . . . . 7 |- ( ( z D x ) e. RR -> ( z D x ) =/= -oo )
36		xaddpnf1 9915	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR* /\ ( z D x ) =/= -oo ) -> ( ( z D x ) +e +oo ) = +oo )
37	34, 35, 36	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D x ) +e +oo ) = +oo )
38	21, 37	sylan9eqr 2248	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = +oo )
39	20, 38	breqtrrd 4058	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
40		simpr2 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
41	28, 29, 40	fovcdmd 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
42		elxrge0 10047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( z D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D y ) ) )
43	42	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( z D y ) e. RR* )
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) e. RR* )
45	42	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z D y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( z D y ) )
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( z D y ) )
47		ge0nemnf 9893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z D y ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D y ) ) -> ( z D y ) =/= -oo )
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D y ) =/= -oo )
49	48	neneqd 2385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> -. ( z D y ) = -oo )
50	49	pm2.21d 620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D y ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
51	50	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D y ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
52	51	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) /\ ( z D y ) = -oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
53	44	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( z D y ) e. RR* )
54		elxr 9845	. . . . 5 |- ( ( z D y ) e. RR* <-> ( ( z D y ) e. RR \/ ( z D y ) = +oo \/ ( z D y ) = -oo ) )
55	53, 54	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( ( z D y ) e. RR \/ ( z D y ) = +oo \/ ( z D y ) = -oo ) )
56	16, 39, 52, 55	mpjao3dan 1318	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) e. RR ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
57	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ +oo )
58		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( ( z D x ) = +oo -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( +oo +e ( z D y ) ) )
59		xaddpnf2 9916	. . . . . 6 |- ( ( ( z D y ) e. RR* /\ ( z D y ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( z D y ) ) = +oo )
60	44, 48, 59	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( +oo +e ( z D y ) ) = +oo )
61	58, 60	sylan9eqr 2248	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = +oo )
62	57, 61	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = +oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
63	32	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( ( z D x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( z D x ) )
64	31, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( z D x ) )
65		ge0nemnf 9893	. . . . . . 7 |- ( ( ( z D x ) e. RR* /\ 0 <_ ( z D x ) ) -> ( z D x ) =/= -oo )
66	34, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z D x ) =/= -oo )
67	66	neneqd 2385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> -. ( z D x ) = -oo )
68	67	pm2.21d 620	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D x ) = -oo -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
69	68	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) /\ ( z D x ) = -oo ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
70		elxr 9845	. . . 4 |- ( ( z D x ) e. RR* <-> ( ( z D x ) e. RR \/ ( z D x ) = +oo \/ ( z D x ) = -oo ) )
71	34, 70	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z D x ) e. RR \/ ( z D x ) = +oo \/ ( z D x ) = -oo ) )
72	56, 62, 69, 71	mpjao3dan 1318	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
73	1, 2, 10, 72	isxmetd 14526	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   + caddc 7877   +oocpnf 8053   -oocmnf 8054   RR*cxr 8055   <_ cle 8057   +ecxad 9839   [,]cicc 9960   *Metcxmet 14035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-xadd 9842  df-icc 9964  df-xmet 14043

This theorem is referenced by: (None)