Theorem fovrn 5995

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovrn	|- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4643	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. ( R X. S ) )
2		df-ov 5856	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
3		ffvelrn 5629	. . . 4 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. C )
4	2, 3	eqeltrid 2257	. . 3 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 4	sylan2 284	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
6	5	3impb 1194	1 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   e. wcel 2141   <.cop 3586   X. cxp 4609   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  fovrnda  5996  fovrnd  5997  ovmpoelrn  6186  mapxpen  6826  psmetcl  13120  xmetcl  13146  metcl  13147  blssm  13215