Theorem fovrn 5953

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovrn	|- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4611	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. ( R X. S ) )
2		df-ov 5817	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
3		ffvelrn 5593	. . . 4 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. C )
4	2, 3	eqeltrid 2241	. . 3 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 4	sylan2 284	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
6	5	3impb 1178	1 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 2125   <.cop 3559   X. cxp 4577   -->wf 5159   ` cfv 5163  (class class class)co 5814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-ov 5817

This theorem is referenced by:  fovrnda  5954  fovrnd  5955  ovmpoelrn  6145  mapxpen  6782  psmetcl  12673  xmetcl  12699  metcl  12700  blssm  12768