Theorem funcnv2 5318

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5319). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5047	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		dffun6 5272	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ (Rel ◡𝐴 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥))
3	1, 2	mpbiran 942	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥)
4		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	brcnv 4849	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
7	6	mobii 2082	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
8	7	albii 1484	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
9	3, 8	bitri 184	1 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∀wal 1362  ∃*wmo 2046   class class class wbr 4033  ^◡ccnv 4662  Rel wrel 4668  Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  funcnv  5319  fun2cnv  5322  fun11  5325  dff12  5462  1stconst  6279  2ndconst  6280