ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnv2 GIF version

Theorem funcnv2 5151
Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5152). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnv2 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem funcnv2
StepHypRef Expression
1 relcnv 4885 . . 3 Rel 𝐴
2 dffun6 5105 . . 3 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦𝐴𝑥))
31, 2mpbiran 907 . 2 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦𝐴𝑥)
4 vex 2661 . . . . 5 𝑦 ∈ V
5 vex 2661 . . . . 5 𝑥 ∈ V
64, 5brcnv 4690 . . . 4 (𝑦𝐴𝑥𝑥𝐴𝑦)
76mobii 2012 . . 3 (∃*𝑥 𝑦𝐴𝑥 ↔ ∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
87albii 1429 . 2 (∀𝑦∃*𝑥 𝑦𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
93, 8bitri 183 1 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wal 1312  ∃*wmo 1976   class class class wbr 3897  ccnv 4506  Rel wrel 4512  Fun wfun 5085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-fun 5093
This theorem is referenced by:  funcnv  5152  fun2cnv  5155  fun11  5158  dff12  5295  1stconst  6084  2ndconst  6085
  Copyright terms: Public domain W3C validator