Theorem funcnv2 5339

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5340). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5065	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		dffun6 5290	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ (Rel ◡𝐴 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥))
3	1, 2	mpbiran 943	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥)
4		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	brcnv 4865	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
7	6	mobii 2092	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
8	7	albii 1494	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
9	3, 8	bitri 184	1 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∀wal 1371  ∃*wmo 2056   class class class wbr 4047  ^◡ccnv 4678  Rel wrel 4684  Fun wfun 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-fun 5278

This theorem is referenced by:  funcnv  5340  fun2cnv  5343  fun11  5346  dff12  5487  1stconst  6314  2ndconst  6315