ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fun11 Unicode version

Theorem fun11 5279
Description: Two ways of stating that  A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un2 (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
fun11  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <->  A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11
StepHypRef Expression
1 dfbi2 388 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  <->  y  =  w )  <->  ( (
x  =  z  -> 
y  =  w )  /\  ( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )
21imbi2i 226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) )  <->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
( ( x  =  z  ->  y  =  w )  /\  (
y  =  w  ->  x  =  z )
) ) )
3 pm4.76 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  w ) )  /\  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )  <->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
( ( x  =  z  ->  y  =  w )  /\  (
y  =  w  ->  x  =  z )
) ) )
4 bi2.04 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  ->  y  =  w ) )  <->  ( x  =  z  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
5 bi2.04 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( y  =  w  ->  x  =  z ) )  <->  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
64, 5anbi12i 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  w ) )  /\  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )  <->  ( (
x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) ) )
72, 3, 63bitr2i 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) )  <->  ( (
x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) ) )
872albii 1471 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. x A. y
( ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) ) )
9 19.26-2 1482 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )  <->  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  A. x A. y ( y  =  w  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) ) )
10 alcom 1478 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y A. x ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
11 nfv 1528 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )
12 breq1 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x A y  <->  z A
y ) )
1312anbi1d 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  <->  ( z A y  /\  z A w ) ) )
1413imbi1d 231 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  <->  ( (
z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
1511, 14equsal 1727 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  <->  ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
1615albii 1470 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. x ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
1710, 16bitri 184 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
18 nfv 1528 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
19 breq2 4004 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
2019anbi1d 465 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  <->  ( x A w  /\  z A w ) ) )
2120imbi1d 231 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  ( (
x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
2218, 21equsal 1727 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  w  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)  <->  ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
2322albii 1470 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )  <->  A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
2417, 23anbi12i 460 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( x  =  z  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  /\  A. x A. y ( y  =  w  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )  <->  ( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) )
258, 9, 243bitri 206 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  ( A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
26252albii 1471 . . 3  |-  ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. z A. w
( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
27 19.26-2 1482 . . 3  |-  ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )  <->  ( A. z A. w A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. z A. w A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) )
2826, 27bitr2i 185 . 2  |-  ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)  <->  A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) ) )
29 fun2cnv 5276 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' A  <->  A. z E* y 
z A y )
30 breq2 4004 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z A y  <->  z A w ) )
3130mo4 2087 . . . . 5  |-  ( E* y  z A y  <->  A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3231albii 1470 . . . 4  |-  ( A. z E* y  z A y  <->  A. z A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
33 alcom 1478 . . . . 5  |-  ( A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  <->  A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3433albii 1470 . . . 4  |-  ( A. z A. y A. w
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  <->  A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3529, 32, 343bitri 206 . . 3  |-  ( Fun  `' `' A  <->  A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
36 funcnv2 5272 . . . 4  |-  ( Fun  `' A  <->  A. w E* x  x A w )
37 breq1 4003 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x A w  <->  z A w ) )
3837mo4 2087 . . . . 5  |-  ( E* x  x A w  <->  A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
3938albii 1470 . . . 4  |-  ( A. w E* x  x A w  <->  A. w A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
40 alcom 1478 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4140albii 1470 . . . . 5  |-  ( A. w A. x A. z
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. w A. z A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
42 alcom 1478 . . . . 5  |-  ( A. w A. z A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4341, 42bitri 184 . . . 4  |-  ( A. w A. x A. z
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4436, 39, 433bitri 206 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
4535, 44anbi12i 460 . 2  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <-> 
( A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
46 alrot4 1486 . 2  |-  ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) ) )
4728, 45, 463bitr4i 212 1  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <->  A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351   E*wmo 2027   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622   Fun wfun 5206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-fun 5214
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator