Theorem fun11 5326

Description: Two ways of stating that A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un₂ (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fun11	|- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi2 388	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z <-> y = w ) <-> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) )
2	1	imbi2i 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
3		pm4.76 604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
4		bi2.04 248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) <-> ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
5		bi2.04 248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) <-> ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) )
6	4, 5	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
7	2, 3, 6	3bitr2i 208	. . . . . 6 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
8	7	2albii 1485	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
9		19.26-2 1496	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
10		alcom 1492	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
11		nfv 1542	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w )
12		breq1 4037	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x A y <-> z A y ) )
13	12	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( z A y /\ z A w ) ) )
14	13	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
15	11, 14	equsal 1741	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
16	15	albii 1484	. . . . . . 7 |- ( A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
17	10, 16	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
18		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z )
19		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
20	19	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( x A w /\ z A w ) ) )
21	20	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
22	18, 21	equsal 1741	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
23	22	albii 1484	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
24	17, 23	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
25	8, 9, 24	3bitri 206	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
26	25	2albii 1485	. . 3 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
27		19.26-2 1496	. . 3 |- ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
28	26, 27	bitr2i 185	. 2 |- ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
29		fun2cnv 5323	. . . 4 |- ( Fun `' `' A <-> A. z E* y z A y )
30		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z A y <-> z A w ) )
31	30	mo4 2106	. . . . 5 |- ( E* y z A y <-> A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
32	31	albii 1484	. . . 4 |- ( A. z E* y z A y <-> A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
33		alcom 1492	. . . . 5 |- ( A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
34	33	albii 1484	. . . 4 |- ( A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
35	29, 32, 34	3bitri 206	. . 3 |- ( Fun `' `' A <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
36		funcnv2 5319	. . . 4 |- ( Fun `' A <-> A. w E* x x A w )
37		breq1 4037	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x A w <-> z A w ) )
38	37	mo4 2106	. . . . 5 |- ( E* x x A w <-> A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
39	38	albii 1484	. . . 4 |- ( A. w E* x x A w <-> A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
40		alcom 1492	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
41	40	albii 1484	. . . . 5 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
42		alcom 1492	. . . . 5 |- ( A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
43	41, 42	bitri 184	. . . 4 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
44	36, 39, 43	3bitri 206	. . 3 |- ( Fun `' A <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
45	35, 44	anbi12i 460	. 2 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
46		alrot4 1500	. 2 |- ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
47	28, 45, 46	3bitr4i 212	1 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E*wmo 2046   class class class wbr 4034   `'ccnv 4663   Fun wfun 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-fun 5261

This theorem is referenced by: (None)