Theorem fun11 5255

Description: Two ways of stating that A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un₂ (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fun11	|- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi2 386	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z <-> y = w ) <-> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) )
2	1	imbi2i 225	. . . . . . 7 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
3		pm4.76 594	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
4		bi2.04 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) <-> ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
5		bi2.04 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) <-> ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) )
6	4, 5	anbi12i 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
7	2, 3, 6	3bitr2i 207	. . . . . 6 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
8	7	2albii 1459	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
9		19.26-2 1470	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
10		alcom 1466	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
11		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w )
12		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x A y <-> z A y ) )
13	12	anbi1d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( z A y /\ z A w ) ) )
14	13	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
15	11, 14	equsal 1715	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
16	15	albii 1458	. . . . . . 7 |- ( A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
17	10, 16	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
18		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z )
19		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
20	19	anbi1d 461	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( x A w /\ z A w ) ) )
21	20	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
22	18, 21	equsal 1715	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
23	22	albii 1458	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
24	17, 23	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
25	8, 9, 24	3bitri 205	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
26	25	2albii 1459	. . 3 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
27		19.26-2 1470	. . 3 |- ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
28	26, 27	bitr2i 184	. 2 |- ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
29		fun2cnv 5252	. . . 4 |- ( Fun `' `' A <-> A. z E* y z A y )
30		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z A y <-> z A w ) )
31	30	mo4 2075	. . . . 5 |- ( E* y z A y <-> A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
32	31	albii 1458	. . . 4 |- ( A. z E* y z A y <-> A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
33		alcom 1466	. . . . 5 |- ( A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
34	33	albii 1458	. . . 4 |- ( A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
35	29, 32, 34	3bitri 205	. . 3 |- ( Fun `' `' A <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
36		funcnv2 5248	. . . 4 |- ( Fun `' A <-> A. w E* x x A w )
37		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x A w <-> z A w ) )
38	37	mo4 2075	. . . . 5 |- ( E* x x A w <-> A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
39	38	albii 1458	. . . 4 |- ( A. w E* x x A w <-> A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
40		alcom 1466	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
41	40	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
42		alcom 1466	. . . . 5 |- ( A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
43	41, 42	bitri 183	. . . 4 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
44	36, 39, 43	3bitri 205	. . 3 |- ( Fun `' A <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
45	35, 44	anbi12i 456	. 2 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
46		alrot4 1474	. 2 |- ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
47	28, 45, 46	3bitr4i 211	1 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   E*wmo 2015   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-fun 5190

This theorem is referenced by: (None)