Theorem funcnveq 5317

Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5264. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funcnveq	|- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem funcnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5043	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun2 5264	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) ) )
3	1, 2	mpbiran 942	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
4		alcom 1489	. 2 |- ( A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
5		vex 2763	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		vex 2763	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4845	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> x A y )
8		vex 2763	. . . . . . 7 |- z e. _V
9	5, 8	brcnv 4845	. . . . . 6 |- ( y `' A z <-> z A y )
10	7, 9	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( y `' A x /\ y `' A z ) <-> ( x A y /\ z A y ) )
11	10	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
12	11	2albii 1482	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
13	12	albii 1481	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
14	3, 4, 13	3bitri 206	1 |- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   class class class wbr 4029   `'ccnv 4658   Rel wrel 4664   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-fun 5256

This theorem is referenced by:  imain  5336