Theorem funcnveq 5186

Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5133. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funcnveq	|- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem funcnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4917	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun2 5133	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) ) )
3	1, 2	mpbiran 924	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
4		alcom 1454	. 2 |- ( A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
5		vex 2689	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		vex 2689	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4722	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> x A y )
8		vex 2689	. . . . . . 7 |- z e. _V
9	5, 8	brcnv 4722	. . . . . 6 |- ( y `' A z <-> z A y )
10	7, 9	anbi12i 455	. . . . 5 |- ( ( y `' A x /\ y `' A z ) <-> ( x A y /\ z A y ) )
11	10	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
12	11	2albii 1447	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
13	12	albii 1446	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
14	3, 4, 13	3bitri 205	1 |- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-fun 5125

This theorem is referenced by:  imain  5205