Theorem funcnveq 5321

Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5268. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funcnveq	|- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem funcnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5047	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun2 5268	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) ) )
3	1, 2	mpbiran 942	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
4		alcom 1492	. 2 |- ( A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
5		vex 2766	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		vex 2766	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4849	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> x A y )
8		vex 2766	. . . . . . 7 |- z e. _V
9	5, 8	brcnv 4849	. . . . . 6 |- ( y `' A z <-> z A y )
10	7, 9	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( y `' A x /\ y `' A z ) <-> ( x A y /\ z A y ) )
11	10	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
12	11	2albii 1485	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
13	12	albii 1484	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
14	3, 4, 13	3bitri 206	1 |- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   class class class wbr 4033   `'ccnv 4662   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  imain  5340