Theorem funcnveq 5251

Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5198. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funcnveq	|- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem funcnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4982	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun2 5198	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) ) )
3	1, 2	mpbiran 930	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
4		alcom 1466	. 2 |- ( A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
5		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4787	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> x A y )
8		vex 2729	. . . . . . 7 |- z e. _V
9	5, 8	brcnv 4787	. . . . . 6 |- ( y `' A z <-> z A y )
10	7, 9	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( y `' A x /\ y `' A z ) <-> ( x A y /\ z A y ) )
11	10	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
12	11	2albii 1459	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
13	12	albii 1458	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
14	3, 4, 13	3bitri 205	1 |- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  imain  5270