Theorem funcnveq 5356

Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5300. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funcnveq	|- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem funcnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5079	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun2 5300	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) ) )
3	1, 2	mpbiran 943	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
4		alcom 1502	. 2 |- ( A. y A. x A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) )
5		vex 2779	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		vex 2779	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4879	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> x A y )
8		vex 2779	. . . . . . 7 |- z e. _V
9	5, 8	brcnv 4879	. . . . . 6 |- ( y `' A z <-> z A y )
10	7, 9	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( y `' A x /\ y `' A z ) <-> ( x A y /\ z A y ) )
11	10	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
12	11	2albii 1495	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
13	12	albii 1494	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( y `' A x /\ y `' A z ) -> x = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )
14	3, 4, 13	3bitri 206	1 |- ( Fun `' A <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ z A y ) -> x = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   class class class wbr 4059   `'ccnv 4692   Rel wrel 4698   Fun wfun 5284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-fun 5292

This theorem is referenced by:  imain  5375