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Theorem funcnveq 5233
Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5180. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funcnveq  |-  ( Fun  `' A  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  z A y )  ->  x  =  z )
)
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem funcnveq
StepHypRef Expression
1 relcnv 4964 . . 3  |-  Rel  `' A
2 dffun2 5180 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  ( Rel  `' A  /\  A. y A. x A. z ( ( y `' A x  /\  y `' A
z )  ->  x  =  z ) ) )
31, 2mpbiran 925 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y A. x A. z ( ( y `' A x  /\  y `' A z )  ->  x  =  z )
)
4 alcom 1458 . 2  |-  ( A. y A. x A. z
( ( y `' A x  /\  y `' A z )  ->  x  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( y `' A x  /\  y `' A z )  ->  x  =  z )
)
5 vex 2715 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
6 vex 2715 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
75, 6brcnv 4769 . . . . . 6  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
8 vex 2715 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
95, 8brcnv 4769 . . . . . 6  |-  ( y `' A z  <->  z A
y )
107, 9anbi12i 456 . . . . 5  |-  ( ( y `' A x  /\  y `' A
z )  <->  ( x A y  /\  z A y ) )
1110imbi1i 237 . . . 4  |-  ( ( ( y `' A x  /\  y `' A
z )  ->  x  =  z )  <->  ( (
x A y  /\  z A y )  ->  x  =  z )
)
12112albii 1451 . . 3  |-  ( A. y A. z ( ( y `' A x  /\  y `' A
z )  ->  x  =  z )  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  z A y )  ->  x  =  z )
)
1312albii 1450 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ( y `' A x  /\  y `' A z )  ->  x  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  z A y )  ->  x  =  z )
)
143, 4, 133bitri 205 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  z A y )  ->  x  =  z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1333   class class class wbr 3965   `'ccnv 4585   Rel wrel 4591   Fun wfun 5164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-fun 5172
This theorem is referenced by:  imain  5252
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