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Theorem imain 5175
Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
imain  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  i^i  B ) )  =  ( ( F " A
)  i^i  ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imain
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imainlem 5174 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  B ) )  C_  (
( F " A
)  i^i  ( F " B ) )
21a1i 9 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  i^i  B ) )  C_  (
( F " A
)  i^i  ( F " B ) ) )
3 eeanv 1884 . . . . . 6  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. z ( z  e.  B  /\  z F y ) ) )
4 simprll 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  e.  A )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  ->  x F y )
6 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  B  /\  z F y )  -> 
z F y )
75, 6anim12i 336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  -> 
( x F y  /\  z F y ) )
8 funcnveq 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' F  <->  A. x A. y A. z ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z )
)
98biimpi 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  `' F  ->  A. x A. y A. z ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z ) )
10919.21bi 1522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' F  ->  A. y A. z ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z )
)
111019.21bbi 1523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z )
)
1211imp 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( x F y  /\  z F y ) )  ->  x  =  z )
137, 12sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  =  z )
14 simprrl 513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  z  e.  B )
1513, 14eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  e.  B )
16 elin 3229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
174, 15, 16sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  B ) )
18 simprlr 512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x F
y )
1917, 18jca 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) )
2019ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  -> 
( x  e.  ( A  i^i  B )  /\  x F y ) ) )
2120exlimdv 1775 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. z ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) ) )
2221eximdv 1836 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x E. z ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  ->  E. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) ) )
233, 22syl5bir 152 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. z ( z  e.  B  /\  z F y ) )  ->  E. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) ) )
24 df-rex 2399 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
25 df-rex 2399 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  z F y  <->  E. z
( z  e.  B  /\  z F y ) )
2624, 25anbi12i 455 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. z ( z  e.  B  /\  z F y ) ) )
27 df-rex 2399 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( A  i^i  B ) x F y  <->  E. x
( x  e.  ( A  i^i  B )  /\  x F y ) )
2823, 26, 273imtr4g 204 . . . 4  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y )  ->  E. x  e.  ( A  i^i  B ) x F y ) )
2928ss2abdv 3140 . . 3  |-  ( Fun  `' F  ->  { y  |  ( E. x  e.  A  x F
y  /\  E. z  e.  B  z F
y ) }  C_  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  B
) x F y } )
30 dfima2 4853 . . . . 5  |-  ( F
" A )  =  { y  |  E. x  e.  A  x F y }
31 dfima2 4853 . . . . 5  |-  ( F
" B )  =  { y  |  E. z  e.  B  z F y }
3230, 31ineq12i 3245 . . . 4  |-  ( ( F " A )  i^i  ( F " B ) )  =  ( { y  |  E. x  e.  A  x F y }  i^i  { y  |  E. z  e.  B  z F
y } )
33 inab 3314 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  x F
y }  i^i  {
y  |  E. z  e.  B  z F
y } )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y ) }
3432, 33eqtri 2138 . . 3  |-  ( ( F " A )  i^i  ( F " B ) )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y ) }
35 dfima2 4853 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  B ) )  =  {
y  |  E. x  e.  ( A  i^i  B
) x F y }
3629, 34, 353sstr4g 3110 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( F " A )  i^i  ( F " B ) )  C_  ( F " ( A  i^i  B ) ) )
372, 36eqssd 3084 1  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  i^i  B ) )  =  ( ( F " A
)  i^i  ( F " B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   {cab 2103   E.wrex 2394    i^i cin 3040    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   `'ccnv 4508   "cima 4512   Fun wfun 5087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-fun 5095
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