Theorem imain 5294

Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
imain	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imain

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imainlem 5293	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )
3		eeanv 1932	. . . . . 6 |- ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
4		simprll 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. A )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ x F y ) -> x F y )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. B /\ z F y ) -> z F y )
7	5, 6	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x F y /\ z F y ) )
8		funcnveq 5275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' F <-> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun `' F -> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
10	9	19.21bi 1558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' F -> A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
11	10	19.21bbi 1559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
12	11	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun `' F /\ ( x F y /\ z F y ) ) -> x = z )
13	7, 12	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x = z )
14		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> z e. B )
15	13, 14	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. B )
16		elin 3318	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
17	4, 15, 16	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. ( A i^i B ) )
18		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x F y )
19	17, 18	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
21	20	exlimdv 1819	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
22	21	eximdv 1880	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
23	3, 22	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
24		df-rex 2461	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
25		df-rex 2461	. . . . . 6 |- ( E. z e. B z F y <-> E. z ( z e. B /\ z F y ) )
26	24, 25	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
27		df-rex 2461	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A i^i B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
28	23, 26, 27	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) -> E. x e. ( A i^i B ) x F y ) )
29	28	ss2abdv 3228	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) } C_ { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y } )
30		dfima2 4968	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
31		dfima2 4968	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. z e. B z F y }
32	30, 31	ineq12i 3334	. . . 4 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } )
33		inab 3403	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
34	32, 33	eqtri 2198	. . 3 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
35		dfima2 4968	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) = { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y }
36	29, 34, 35	3sstr4g 3198	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) C_ ( F " ( A i^i B ) ) )
37	2, 36	eqssd 3172	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   i^i cin 3128   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622   "cima 4626   Fun wfun 5206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-fun 5214

This theorem is referenced by:  inpreima  5638