Theorem imain 5440

Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
imain	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imain

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imainlem 5439	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )
3		eeanv 1988	. . . . . 6 |- ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
4		simprll 539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. A )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ x F y ) -> x F y )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. B /\ z F y ) -> z F y )
7	5, 6	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x F y /\ z F y ) )
8		funcnveq 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' F <-> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun `' F -> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
10	9	19.21bi 1607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' F -> A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
11	10	19.21bbi 1608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
12	11	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun `' F /\ ( x F y /\ z F y ) ) -> x = z )
13	7, 12	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x = z )
14		simprrl 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> z e. B )
15	13, 14	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. B )
16		elin 3404	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
17	4, 15, 16	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. ( A i^i B ) )
18		simprlr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x F y )
19	17, 18	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
21	20	exlimdv 1868	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
22	21	eximdv 1929	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
23	3, 22	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
24		df-rex 2528	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
25		df-rex 2528	. . . . . 6 |- ( E. z e. B z F y <-> E. z ( z e. B /\ z F y ) )
26	24, 25	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
27		df-rex 2528	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A i^i B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
28	23, 26, 27	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) -> E. x e. ( A i^i B ) x F y ) )
29	28	ss2abdv 3313	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) } C_ { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y } )
30		dfima2 5105	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
31		dfima2 5105	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. z e. B z F y }
32	30, 31	ineq12i 3422	. . . 4 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } )
33		inab 3491	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
34	32, 33	eqtri 2255	. . 3 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
35		dfima2 5105	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) = { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y }
36	29, 34, 35	3sstr4g 3283	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) C_ ( F " ( A i^i B ) ) )
37	2, 36	eqssd 3257	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   {cab 2220   E.wrex 2523   i^i cin 3212   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   `'ccnv 4750   "cima 4754   Fun wfun 5348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-fun 5356

This theorem is referenced by:  inpreima  5805