Theorem imain 5356

Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
imain	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imain

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imainlem 5355	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )
3		eeanv 1960	. . . . . 6 |- ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
4		simprll 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. A )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ x F y ) -> x F y )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. B /\ z F y ) -> z F y )
7	5, 6	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x F y /\ z F y ) )
8		funcnveq 5337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' F <-> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun `' F -> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
10	9	19.21bi 1581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' F -> A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
11	10	19.21bbi 1582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
12	11	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun `' F /\ ( x F y /\ z F y ) ) -> x = z )
13	7, 12	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x = z )
14		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> z e. B )
15	13, 14	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. B )
16		elin 3356	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
17	4, 15, 16	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. ( A i^i B ) )
18		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x F y )
19	17, 18	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
21	20	exlimdv 1842	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
22	21	eximdv 1903	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
23	3, 22	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
24		df-rex 2490	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
25		df-rex 2490	. . . . . 6 |- ( E. z e. B z F y <-> E. z ( z e. B /\ z F y ) )
26	24, 25	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
27		df-rex 2490	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A i^i B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
28	23, 26, 27	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) -> E. x e. ( A i^i B ) x F y ) )
29	28	ss2abdv 3266	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) } C_ { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y } )
30		dfima2 5024	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
31		dfima2 5024	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. z e. B z F y }
32	30, 31	ineq12i 3372	. . . 4 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } )
33		inab 3441	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
34	32, 33	eqtri 2226	. . 3 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
35		dfima2 5024	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) = { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y }
36	29, 34, 35	3sstr4g 3236	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) C_ ( F " ( A i^i B ) ) )
37	2, 36	eqssd 3210	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   E.wrex 2485   i^i cin 3165   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   "cima 4678   Fun wfun 5265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-fun 5273

This theorem is referenced by:  inpreima  5706