Theorem imain 5213

Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
imain	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imain

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imainlem 5212	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) C_ ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )
3		eeanv 1905	. . . . . 6 |- ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
4		simprll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. A )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ x F y ) -> x F y )
6		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. B /\ z F y ) -> z F y )
7	5, 6	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x F y /\ z F y ) )
8		funcnveq 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' F <-> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
9	8	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun `' F -> A. x A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
10	9	19.21bi 1538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' F -> A. y A. z ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
11	10	19.21bbi 1539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> ( ( x F y /\ z F y ) -> x = z ) )
12	11	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun `' F /\ ( x F y /\ z F y ) ) -> x = z )
13	7, 12	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x = z )
14		simprrl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> z e. B )
15	13, 14	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. B )
16		elin 3264	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
17	4, 15, 16	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x e. ( A i^i B ) )
18		simprlr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> x F y )
19	17, 18	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
20	19	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
21	20	exlimdv 1792	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
22	21	eximdv 1853	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( E. x E. z ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
23	3, 22	syl5bir 152	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) -> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) ) )
24		df-rex 2423	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
25		df-rex 2423	. . . . . 6 |- ( E. z e. B z F y <-> E. z ( z e. B /\ z F y ) )
26	24, 25	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. z ( z e. B /\ z F y ) ) )
27		df-rex 2423	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A i^i B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A i^i B ) /\ x F y ) )
28	23, 26, 27	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) -> E. x e. ( A i^i B ) x F y ) )
29	28	ss2abdv 3175	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) } C_ { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y } )
30		dfima2 4891	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
31		dfima2 4891	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. z e. B z F y }
32	30, 31	ineq12i 3280	. . . 4 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } )
33		inab 3349	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } i^i { y | E. z e. B z F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
34	32, 33	eqtri 2161	. . 3 |- ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ E. z e. B z F y ) }
35		dfima2 4891	. . 3 |- ( F " ( A i^i B ) ) = { y | E. x e. ( A i^i B ) x F y }
36	29, 34, 35	3sstr4g 3145	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) C_ ( F " ( A i^i B ) ) )
37	2, 36	eqssd 3119	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A i^i B ) ) = ( ( F " A ) i^i ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   E.wrex 2418   i^i cin 3075   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   "cima 4550   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  inpreima  5554