ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imain Unicode version

Theorem imain 5173
Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
imain  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  i^i  B ) )  =  ( ( F " A
)  i^i  ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imain
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imainlem 5172 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  B ) )  C_  (
( F " A
)  i^i  ( F " B ) )
21a1i 9 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  i^i  B ) )  C_  (
( F " A
)  i^i  ( F " B ) ) )
3 eeanv 1882 . . . . . 6  |-  ( E. x E. z ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. z ( z  e.  B  /\  z F y ) ) )
4 simprll 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  e.  A )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  ->  x F y )
6 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  B  /\  z F y )  -> 
z F y )
75, 6anim12i 334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  -> 
( x F y  /\  z F y ) )
8 funcnveq 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' F  <->  A. x A. y A. z ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z )
)
98biimpi 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  `' F  ->  A. x A. y A. z ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z ) )
10919.21bi 1520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' F  ->  A. y A. z ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z )
)
111019.21bbi 1521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( x F y  /\  z F y )  ->  x  =  z )
)
1211imp 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( x F y  /\  z F y ) )  ->  x  =  z )
137, 12sylan2 282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  =  z )
14 simprrl 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  z  e.  B )
1513, 14eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  e.  B )
16 elin 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
174, 15, 16sylanbrc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  B ) )
18 simprlr 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  x F
y )
1917, 18jca 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  (
z  e.  B  /\  z F y ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) )
2019ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  -> 
( x  e.  ( A  i^i  B )  /\  x F y ) ) )
2120exlimdv 1773 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. z ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) ) )
2221eximdv 1834 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x E. z ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( z  e.  B  /\  z F y ) )  ->  E. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) ) )
233, 22syl5bir 152 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. z ( z  e.  B  /\  z F y ) )  ->  E. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  /\  x F
y ) ) )
24 df-rex 2397 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
25 df-rex 2397 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  z F y  <->  E. z
( z  e.  B  /\  z F y ) )
2624, 25anbi12i 453 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. z ( z  e.  B  /\  z F y ) ) )
27 df-rex 2397 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( A  i^i  B ) x F y  <->  E. x
( x  e.  ( A  i^i  B )  /\  x F y ) )
2823, 26, 273imtr4g 204 . . . 4  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y )  ->  E. x  e.  ( A  i^i  B ) x F y ) )
2928ss2abdv 3138 . . 3  |-  ( Fun  `' F  ->  { y  |  ( E. x  e.  A  x F
y  /\  E. z  e.  B  z F
y ) }  C_  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  B
) x F y } )
30 dfima2 4851 . . . . 5  |-  ( F
" A )  =  { y  |  E. x  e.  A  x F y }
31 dfima2 4851 . . . . 5  |-  ( F
" B )  =  { y  |  E. z  e.  B  z F y }
3230, 31ineq12i 3243 . . . 4  |-  ( ( F " A )  i^i  ( F " B ) )  =  ( { y  |  E. x  e.  A  x F y }  i^i  { y  |  E. z  e.  B  z F
y } )
33 inab 3312 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  x F
y }  i^i  {
y  |  E. z  e.  B  z F
y } )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y ) }
3432, 33eqtri 2136 . . 3  |-  ( ( F " A )  i^i  ( F " B ) )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  E. z  e.  B  z F y ) }
35 dfima2 4851 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  B ) )  =  {
y  |  E. x  e.  ( A  i^i  B
) x F y }
3629, 34, 353sstr4g 3108 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( F " A )  i^i  ( F " B ) )  C_  ( F " ( A  i^i  B ) ) )
372, 36eqssd 3082 1  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  i^i  B ) )  =  ( ( F " A
)  i^i  ( F " B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   {cab 2101   E.wrex 2392    i^i cin 3038    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   `'ccnv 4506   "cima 4510   Fun wfun 5085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-fun 5093
This theorem is referenced by:  inpreima  5512
  Copyright terms: Public domain W3C validator