ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnveq GIF version

Theorem funcnveq 5233
Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5180. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funcnveq (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem funcnveq
StepHypRef Expression
1 relcnv 4964 . . 3 Rel 𝐴
2 dffun2 5180 . . 3 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
31, 2mpbiran 925 . 2 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
4 alcom 1458 . 2 (∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
5 vex 2715 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
6 vex 2715 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 4769 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑥𝑥𝐴𝑦)
8 vex 2715 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
95, 8brcnv 4769 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑧𝑧𝐴𝑦)
107, 9anbi12i 456 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦))
1110imbi1i 237 . . . 4 (((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
12112albii 1451 . . 3 (∀𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
1312albii 1450 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
143, 4, 133bitri 205 1 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1333   class class class wbr 3965  ccnv 4585  Rel wrel 4591  Fun wfun 5164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-fun 5172
This theorem is referenced by:  imain  5252
  Copyright terms: Public domain W3C validator