ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnveq GIF version

Theorem funcnveq 5063
Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5012. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funcnveq (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem funcnveq
StepHypRef Expression
1 relcnv 4797 . . 3 Rel 𝐴
2 dffun2 5012 . . 3 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
31, 2mpbiran 886 . 2 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
4 alcom 1412 . 2 (∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
5 vex 2622 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
6 vex 2622 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 4607 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑥𝑥𝐴𝑦)
8 vex 2622 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
95, 8brcnv 4607 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑧𝑧𝐴𝑦)
107, 9anbi12i 448 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦))
1110imbi1i 236 . . . 4 (((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
12112albii 1405 . . 3 (∀𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
1312albii 1404 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
143, 4, 133bitri 204 1 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287   class class class wbr 3837  ccnv 4427  Rel wrel 4433  Fun wfun 4996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-fun 5004
This theorem is referenced by:  imain  5082
  Copyright terms: Public domain W3C validator