ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnveq GIF version

Theorem funcnveq 5278
Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5225. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funcnveq (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem funcnveq
StepHypRef Expression
1 relcnv 5005 . . 3 Rel 𝐴
2 dffun2 5225 . . 3 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
31, 2mpbiran 940 . 2 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
4 alcom 1478 . 2 (∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
5 vex 2740 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
6 vex 2740 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 4809 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑥𝑥𝐴𝑦)
8 vex 2740 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
95, 8brcnv 4809 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑧𝑧𝐴𝑦)
107, 9anbi12i 460 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦))
1110imbi1i 238 . . . 4 (((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
12112albii 1471 . . 3 (∀𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
1312albii 1470 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
143, 4, 133bitri 206 1 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wal 1351   class class class wbr 4002  ccnv 4624  Rel wrel 4630  Fun wfun 5209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-fun 5217
This theorem is referenced by:  imain  5297
  Copyright terms: Public domain W3C validator