ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnveq GIF version

Theorem funcnveq 5090
Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 5038. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funcnveq (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem funcnveq
StepHypRef Expression
1 relcnv 4823 . . 3 Rel 𝐴
2 dffun2 5038 . . 3 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
31, 2mpbiran 887 . 2 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
4 alcom 1413 . 2 (∀𝑦𝑥𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
5 vex 2623 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
6 vex 2623 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 4632 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑥𝑥𝐴𝑦)
8 vex 2623 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
95, 8brcnv 4632 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑧𝑧𝐴𝑦)
107, 9anbi12i 449 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦))
1110imbi1i 237 . . . 4 (((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
12112albii 1406 . . 3 (∀𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
1312albii 1405 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑦𝐴𝑥𝑦𝐴𝑧) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
143, 4, 133bitri 205 1 (Fun 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐴𝑦𝑧𝐴𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1288   class class class wbr 3851  ccnv 4451  Rel wrel 4457  Fun wfun 5022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-fun 5030
This theorem is referenced by:  imain  5109
  Copyright terms: Public domain W3C validator