Theorem funcnvsn 5426

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5429 via cnvsn 5270, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5165	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 3001	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 2824	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 4963	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 4131	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3727	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4376	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 121	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2152	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1502	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5391	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 955	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

This proof depends on syntax axioms:   A.wal 1400   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-fun 5379

This theorem is used by:  funsng  5427