ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnvsn Unicode version

Theorem funcnvsn 5059
Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5062 via cnvsn 4913, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on  A and  B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
funcnvsn  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }

Proof of Theorem funcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4810 . 2  |-  Rel  `' { <. A ,  B >. }
2 moeq 2790 . . . 4  |-  E* y 
y  =  A
3 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
53, 4brcnv 4619 . . . . . . 7  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  y { <. A ,  B >. } x )
6 df-br 3846 . . . . . . 7  |-  ( y { <. A ,  B >. } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
75, 6bitri 182 . . . . . 6  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
8 elsni 3464 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  <. y ,  x >.  =  <. A ,  B >. )
94, 3opth1 4063 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. A ,  B >.  -> 
y  =  A )
108, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  y  =  A )
117, 10sylbi 119 . . . . 5  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  ->  y  =  A )
1211moimi 2013 . . . 4  |-  ( E* y  y  =  A  ->  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y )
132, 12ax-mp 7 . . 3  |-  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
1413ax-gen 1383 . 2  |-  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
15 dffun6 5029 . 2  |-  ( Fun  `' { <. A ,  B >. }  <->  ( Rel  `' { <. A ,  B >. }  /\  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y ) )
161, 14, 15mpbir2an 888 1  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   E*wmo 1949   {csn 3446   <.cop 3449   class class class wbr 3845   `'ccnv 4437   Rel wrel 4443   Fun wfun 5009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-fun 5017
This theorem is referenced by:  funsng  5060
  Copyright terms: Public domain W3C validator