Theorem funcnvsn 5072

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5075 via cnvsn 4926, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4823	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 2791	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 2623	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 2623	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 4632	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 3852	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 183	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3468	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4072	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 120	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2014	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 7	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1384	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5042	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 889	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

Syntax hints:   A.wal 1288   = wceq 1290   e. wcel 1439   E*wmo 1950   {csn 3450   <.cop 3453   class class class wbr 3851   `'ccnv 4450   Rel wrel 4456   Fun wfun 5022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-fun 5030

This theorem is referenced by:  funsng  5073