Theorem funcnvsn 5421

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5424 via cnvsn 5265, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5160	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 3001	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 2824	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 4958	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 4126	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3723	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4371	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 121	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2152	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1502	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5386	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 955	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

Syntax hints:   A.wal 1400   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   Rel wrel 4774   Fun wfun 5366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-fun 5374

This theorem is referenced by:  funsng  5422