Theorem funfvbrb 5813

Description: Two ways to say that A is in the domain of F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	|- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5812	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
2		df-br 4126	. . 3 |- ( A F ( F ` A ) <-> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> A F ( F ` A ) )
4		funrel 5389	. . 3 |- ( Fun F -> Rel F )
5		releldm 5012	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
7	3, 6	impbida 604	1 |- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   Fun wfun 5366   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fmptco  5865  climdm  12039  dvaddxx  15727  dvmulxx  15728  dviaddf  15729  dvimulf  15730  dvcjbr  15732