Theorem funfvbrb 5672

Description: Two ways to say that A is in the domain of F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	|- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5671	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
2		df-br 4031	. . 3 |- ( A F ( F ` A ) <-> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> A F ( F ` A ) )
4		funrel 5272	. . 3 |- ( Fun F -> Rel F )
5		releldm 4898	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
7	3, 6	impbida 596	1 |- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   Rel wrel 4665   Fun wfun 5249   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  fmptco  5725  climdm  11441  dvaddxx  14882  dvmulxx  14883  dviaddf  14884  dvimulf  14885  dvcjbr  14887