Theorem funfvbrb 5609

Description: Two ways to say that A is in the domain of F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	|- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5608	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
2		df-br 3990	. . 3 |- ( A F ( F ` A ) <-> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
3	1, 2	sylibr 133	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> A F ( F ` A ) )
4		funrel 5215	. . 3 |- ( Fun F -> Rel F )
5		releldm 4846	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
6	4, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
7	3, 6	impbida 591	1 |- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fmptco  5662  climdm  11258  dvaddxx  13461  dvmulxx  13462  dviaddf  13463  dvimulf  13464  dvcjbr  13466