Theorem funfvbrb 5748

Description: Two ways to say that A is in the domain of F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	|- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5747	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
2		df-br 4084	. . 3 |- ( A F ( F ` A ) <-> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> A F ( F ` A ) )
4		funrel 5335	. . 3 |- ( Fun F -> Rel F )
5		releldm 4959	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
7	3, 6	impbida 598	1 |- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   Fun wfun 5312   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fmptco  5801  climdm  11806  dvaddxx  15377  dvmulxx  15378  dviaddf  15379  dvimulf  15380  dvcjbr  15382