Theorem funfvbrb 5769

Description: Two ways to say that A is in the domain of F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	|- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5768	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
2		df-br 4094	. . 3 |- ( A F ( F ` A ) <-> <. A , ( F ` A ) >. e. F )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> A F ( F ` A ) )
4		funrel 5350	. . 3 |- ( Fun F -> Rel F )
5		releldm 4973	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F ( F ` A ) ) -> A e. dom F )
7	3, 6	impbida 600	1 |- ( Fun F -> ( A e. dom F <-> A F ( F ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   Fun wfun 5327   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fmptco  5821  climdm  11935  dvaddxx  15514  dvmulxx  15515  dviaddf  15516  dvimulf  15517  dvcjbr  15519