ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funfvbrb GIF version

Theorem funfvbrb 5533
Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 5532 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2 df-br 3930 . . 3 (𝐴𝐹(𝐹𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
31, 2sylibr 133 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹𝐴))
4 funrel 5140 . . 3 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5 releldm 4774 . . 3 ((Rel 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
64, 5sylan 281 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
73, 6impbida 585 1 (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  Rel wrel 4544  Fun wfun 5117  cfv 5123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  fmptco  5586  climdm  11064  dvaddxx  12836  dvmulxx  12837  dviaddf  12838  dvimulf  12839  dvcjbr  12841
  Copyright terms: Public domain W3C validator