Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dviaddf Unicode version

 Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 7851 . . . 4
3 dvaddf.s . . . . 5
4 cnex 7850 . . . . . . 7
54a1i 9 . . . . . 6
6 dvaddf.f . . . . . 6
7 dviaddf.x . . . . . 6
8 elpm2r 6608 . . . . . 6
95, 3, 6, 7, 8syl22anc 1221 . . . . 5
10 dvfgg 13028 . . . . 5
113, 9, 10syl2anc 409 . . . 4
12 dvaddf.df . . . . 5
1312feq2d 5306 . . . 4
1411, 13mpbid 146 . . 3
15 dvaddf.g . . . . . 6
16 elpm2r 6608 . . . . . 6
175, 3, 15, 7, 16syl22anc 1221 . . . . 5
18 dvfgg 13028 . . . . 5
193, 17, 18syl2anc 409 . . . 4
20 dvaddf.dg . . . . 5
2120feq2d 5306 . . . 4
2219, 21mpbid 146 . . 3
233, 7ssexd 4104 . . 3
24 inidm 3316 . . 3
252, 6, 15, 23, 23, 24off 6041 . . . . . 6
26 elpm2r 6608 . . . . . 6
275, 3, 25, 7, 26syl22anc 1221 . . . . 5
28 dvfgg 13028 . . . . 5
293, 27, 28syl2anc 409 . . . 4
30 recnprss 13027 . . . . . . . 8
313, 30syl 14 . . . . . . 7
3231, 25, 7dvbss 13025 . . . . . 6
33 reldvg 13019 . . . . . . . . 9
3431, 27, 33syl2anc 409 . . . . . . . 8
3534adantr 274 . . . . . . 7
366adantr 274 . . . . . . . 8
377adantr 274 . . . . . . . 8
3815adantr 274 . . . . . . . 8
3931adantr 274 . . . . . . . 8
4012eleq2d 2227 . . . . . . . . . 10
4140biimpar 295 . . . . . . . . 9
42 ffun 5321 . . . . . . . . . . 11
43 funfvbrb 5579 . . . . . . . . . . 11
4411, 42, 433syl 17 . . . . . . . . . 10
4544adantr 274 . . . . . . . . 9
4641, 45mpbid 146 . . . . . . . 8
4720eleq2d 2227 . . . . . . . . . 10
4847biimpar 295 . . . . . . . . 9
49 ffun 5321 . . . . . . . . . . 11
50 funfvbrb 5579 . . . . . . . . . . 11
5119, 49, 503syl 17 . . . . . . . . . 10
5251adantr 274 . . . . . . . . 9
5348, 52mpbid 146 . . . . . . . 8
54 eqid 2157 . . . . . . . 8
5536, 37, 38, 39, 46, 53, 54dvaddxxbr 13036 . . . . . . 7
56 releldm 4820 . . . . . . 7
5735, 55, 56syl2anc 409 . . . . . 6
5832, 57eqelssd 3147 . . . . 5
5958feq2d 5306 . . . 4
6029, 59mpbid 146 . . 3
61 eqidd 2158 . . 3
62 eqidd 2158 . . 3
633adantr 274 . . . . 5
6436, 37, 38, 63, 41, 48dvaddxx 13038 . . . 4
6564eqcomd 2163 . . 3
662, 14, 22, 23, 23, 24, 60, 61, 62, 65offeq 6042 . 2
6766eqcomd 2163 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  cvv 2712   wss 3102  cpr 3561   class class class wbr 3965   cdm 4585   ccom 4589   wrel 4590   wfun 5163  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821   cof 6027   cpm 6591  cc 7724  cr 7725   caddc 7729   cmin 8040  cabs 10890  cmopn 12356   cdv 12995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846  ax-addf 7848 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-of 6029  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-map 6592  df-pm 6593  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-ntr 12467  df-cn 12559  df-cnp 12560  df-tx 12624  df-limced 12996  df-dvap 12997 This theorem is referenced by:  dvmptaddx  13052
 Copyright terms: Public domain W3C validator