ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle1g Unicode version

Theorem strle1g 11976
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1g  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )

Proof of Theorem strle1g
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . . 4  |-  I  e.  NN
21nnrei 8697 . . . . 5  |-  I  e.  RR
32leidi 8215 . . . 4  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1144 . . 3  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
54a1i 9 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (
I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I ) )
6 difss 3172 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
7 strle1.a . . . . 5  |-  A  =  I
87, 1eqeltri 2190 . . . 4  |-  A  e.  NN
9 funsng 5139 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
108, 9mpan 420 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
11 funss 5112 . . 3  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
126, 10, 11mpsyl 65 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
13 opexg 4120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  V )  -> 
<. A ,  X >.  e. 
_V )
148, 13mpan 420 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  <. A ,  X >.  e.  _V )
15 snexg 4078 . . 3  |-  ( <. A ,  X >.  e. 
_V  ->  { <. A ,  X >. }  e.  _V )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. }  e.  _V )
17 dmsnopg 4980 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. }  =  { A }
)
187sneqi 3509 . . . . 5  |-  { A }  =  { I }
191nnzi 9043 . . . . . 6  |-  I  e.  ZZ
20 fzsn 9814 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( I ... I )  =  { I }
2218, 21eqtr4i 2141 . . . 4  |-  { A }  =  ( I ... I )
2317, 22syl6eq 2166 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. }  =  ( I ... I ) )
24 eqimss 3121 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  X >. }  =  ( I ... I )  ->  dom  { <. A ,  X >. }  C_  ( I ... I ) )
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) )
26 isstructr 11901 . 2  |-  ( ( ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  /\  {
<. A ,  X >. }  e.  _V  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )
275, 12, 16, 25, 26syl13anc 1203 1  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {csn 3497   <.cop 3500   class class class wbr 3899   dom cdm 4509   Fun wfun 5087  (class class class)co 5742    <_ cle 7769   NNcn 8688   ZZcz 9022   ...cfz 9758   Struct cstr 11882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-struct 11888
This theorem is referenced by:  strle2g  11977  strle3g  11978  1strstrg  11984  srngstrd  12008  lmodstrd  12019
  Copyright terms: Public domain W3C validator