Theorem strle1g 13460

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I

Assertion

Ref	Expression
strle1g	|- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 |- I e. NN
2	1	nnrei 9313	. . . . 5 |- I e. RR
3	2	leidi 8813	. . . 4 |- I <_ I
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1206	. . 3 |- ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I )
5	4	a1i 9	. 2 |- ( X e. V -> ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) )
6		difss 3355	. . 3 |- ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. }
7		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
8	7, 1	eqeltri 2311	. . . 4 |- A e. NN
9		funsng 5427	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> Fun { <. A , X >. } )
10	8, 9	mpan 428	. . 3 |- ( X e. V -> Fun { <. A , X >. } )
11		funss 5396	. . 3 |- ( ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. } -> ( Fun { <. A , X >. } -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) ) )
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 |- ( X e. V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
13		opexg 4368	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> <. A , X >. e. _V )
14	8, 13	mpan 428	. . 3 |- ( X e. V -> <. A , X >. e. _V )
15		snexg 4321	. . 3 |- ( <. A , X >. e. _V -> { <. A , X >. } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } e. _V )
17		dmsnopg 5259	. . . 4 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = { A } )
18	7	sneqi 3721	. . . . 5 |- { A } = { I }
19	1	nnzi 9665	. . . . . 6 |- I e. ZZ
20		fzsn 10472	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> ( I ... I ) = { I } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( I ... I ) = { I }
22	18, 21	eqtr4i 2262	. . . 4 |- { A } = ( I ... I )
23	17, 22	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) )
24		eqimss 3302	. . 3 |- ( dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
26		isstructr 13367	. 2 |- ( ( ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) /\ ( Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) /\ { <. A , X >. } e. _V /\ dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) ) ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1280	1 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   Fun wfun 5371  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   NNcn 9304   ZZcz 9644   ...cfz 10411   Struct cstr 13348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354

This theorem is used by:  strle2g  13461  strle3g  13462  1strstrg  13470  srngstrd  13500  lmodstrd  13518  cnfldstr  14895