Theorem strle1g 13319

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I

Assertion

Ref	Expression
strle1g	|- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 |- I e. NN
2	1	nnrei 9246	. . . . 5 |- I e. RR
3	2	leidi 8759	. . . 4 |- I <_ I
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1202	. . 3 |- ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I )
5	4	a1i 9	. 2 |- ( X e. V -> ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) )
6		difss 3345	. . 3 |- ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. }
7		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
8	7, 1	eqeltri 2305	. . . 4 |- A e. NN
9		funsng 5402	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> Fun { <. A , X >. } )
10	8, 9	mpan 424	. . 3 |- ( X e. V -> Fun { <. A , X >. } )
11		funss 5371	. . 3 |- ( ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. } -> ( Fun { <. A , X >. } -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) ) )
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 |- ( X e. V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
13		opexg 4344	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> <. A , X >. e. _V )
14	8, 13	mpan 424	. . 3 |- ( X e. V -> <. A , X >. e. _V )
15		snexg 4297	. . 3 |- ( <. A , X >. e. _V -> { <. A , X >. } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } e. _V )
17		dmsnopg 5234	. . . 4 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = { A } )
18	7	sneqi 3701	. . . . 5 |- { A } = { I }
19	1	nnzi 9598	. . . . . 6 |- I e. ZZ
20		fzsn 10400	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> ( I ... I ) = { I } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( I ... I ) = { I }
22	18, 21	eqtr4i 2256	. . . 4 |- { A } = ( I ... I )
23	17, 22	eqtrdi 2281	. . 3 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) )
24		eqimss 3292	. . 3 |- ( dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
26		isstructr 13227	. 2 |- ( ( ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) /\ ( Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) /\ { <. A , X >. } e. _V /\ dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) ) ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1276	1 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   <.cop 3692   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   Fun wfun 5346  (class class class)co 6050   <_ cle 8309   NNcn 9237   ZZcz 9577   ...cfz 10342   Struct cstr 13208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-struct 13214

This theorem is referenced by:  strle2g  13320  strle3g  13321  1strstrg  13329  srngstrd  13359  lmodstrd  13377  cnfldstr  14706