ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle1g Unicode version

Theorem strle1g 12615
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1g  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )

Proof of Theorem strle1g
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . . 4  |-  I  e.  NN
21nnrei 8957 . . . . 5  |-  I  e.  RR
32leidi 8471 . . . 4  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1177 . . 3  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
54a1i 9 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (
I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I ) )
6 difss 3276 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
7 strle1.a . . . . 5  |-  A  =  I
87, 1eqeltri 2262 . . . 4  |-  A  e.  NN
9 funsng 5281 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
108, 9mpan 424 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
11 funss 5254 . . 3  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
126, 10, 11mpsyl 65 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
13 opexg 4246 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  V )  -> 
<. A ,  X >.  e. 
_V )
148, 13mpan 424 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  <. A ,  X >.  e.  _V )
15 snexg 4202 . . 3  |-  ( <. A ,  X >.  e. 
_V  ->  { <. A ,  X >. }  e.  _V )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. }  e.  _V )
17 dmsnopg 5118 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. }  =  { A }
)
187sneqi 3619 . . . . 5  |-  { A }  =  { I }
191nnzi 9303 . . . . . 6  |-  I  e.  ZZ
20 fzsn 10095 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( I ... I )  =  { I }
2218, 21eqtr4i 2213 . . . 4  |-  { A }  =  ( I ... I )
2317, 22eqtrdi 2238 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. }  =  ( I ... I ) )
24 eqimss 3224 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  X >. }  =  ( I ... I )  ->  dom  { <. A ,  X >. }  C_  ( I ... I ) )
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) )
26 isstructr 12526 . 2  |-  ( ( ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  /\  {
<. A ,  X >. }  e.  _V  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )
275, 12, 16, 25, 26syl13anc 1251 1  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    \ cdif 3141    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   <.cop 3610   class class class wbr 4018   dom cdm 4644   Fun wfun 5229  (class class class)co 5895    <_ cle 8022   NNcn 8948   ZZcz 9282   ...cfz 10037   Struct cstr 12507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-struct 12513
This theorem is referenced by:  strle2g  12616  strle3g  12617  1strstrg  12625  srngstrd  12654  lmodstrd  12672
  Copyright terms: Public domain W3C validator