Theorem strle1g 12909

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I

Assertion

Ref	Expression
strle1g	|- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 |- I e. NN
2	1	nnrei 9044	. . . . 5 |- I e. RR
3	2	leidi 8557	. . . 4 |- I <_ I
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1177	. . 3 |- ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I )
5	4	a1i 9	. 2 |- ( X e. V -> ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) )
6		difss 3298	. . 3 |- ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. }
7		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
8	7, 1	eqeltri 2277	. . . 4 |- A e. NN
9		funsng 5319	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> Fun { <. A , X >. } )
10	8, 9	mpan 424	. . 3 |- ( X e. V -> Fun { <. A , X >. } )
11		funss 5289	. . 3 |- ( ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. } -> ( Fun { <. A , X >. } -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) ) )
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 |- ( X e. V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
13		opexg 4271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> <. A , X >. e. _V )
14	8, 13	mpan 424	. . 3 |- ( X e. V -> <. A , X >. e. _V )
15		snexg 4227	. . 3 |- ( <. A , X >. e. _V -> { <. A , X >. } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } e. _V )
17		dmsnopg 5153	. . . 4 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = { A } )
18	7	sneqi 3644	. . . . 5 |- { A } = { I }
19	1	nnzi 9392	. . . . . 6 |- I e. ZZ
20		fzsn 10187	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> ( I ... I ) = { I } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( I ... I ) = { I }
22	18, 21	eqtr4i 2228	. . . 4 |- { A } = ( I ... I )
23	17, 22	eqtrdi 2253	. . 3 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) )
24		eqimss 3246	. . 3 |- ( dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
26		isstructr 12818	. 2 |- ( ( ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) /\ ( Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) /\ { <. A , X >. } e. _V /\ dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) ) ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1251	1 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   \ cdif 3162   C_ wss 3165   (/)c0 3459   {csn 3632   <.cop 3635   class class class wbr 4043   dom cdm 4674   Fun wfun 5264  (class class class)co 5943   <_ cle 8107   NNcn 9035   ZZcz 9371   ...cfz 10129   Struct cstr 12799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12805

This theorem is referenced by:  strle2g  12910  strle3g  12911  1strstrg  12919  srngstrd  12949  lmodstrd  12967  cnfldstr  14291