Theorem strle1g 11748

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I

Assertion

Ref	Expression
strle1g	|- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 |- I e. NN
2	1	nnrei 8529	. . . . 5 |- I e. RR
3	2	leidi 8060	. . . 4 |- I <_ I
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1124	. . 3 |- ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I )
5	4	a1i 9	. 2 |- ( X e. V -> ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) )
6		difss 3141	. . 3 |- ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. }
7		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
8	7, 1	eqeltri 2167	. . . 4 |- A e. NN
9		funsng 5094	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> Fun { <. A , X >. } )
10	8, 9	mpan 416	. . 3 |- ( X e. V -> Fun { <. A , X >. } )
11		funss 5068	. . 3 |- ( ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. } -> ( Fun { <. A , X >. } -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) ) )
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 |- ( X e. V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
13		opexg 4079	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> <. A , X >. e. _V )
14	8, 13	mpan 416	. . 3 |- ( X e. V -> <. A , X >. e. _V )
15		snexg 4040	. . 3 |- ( <. A , X >. e. _V -> { <. A , X >. } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } e. _V )
17		dmsnopg 4936	. . . 4 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = { A } )
18	7	sneqi 3478	. . . . 5 |- { A } = { I }
19	1	nnzi 8869	. . . . . 6 |- I e. ZZ
20		fzsn 9629	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> ( I ... I ) = { I } )
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( I ... I ) = { I }
22	18, 21	eqtr4i 2118	. . . 4 |- { A } = ( I ... I )
23	17, 22	syl6eq 2143	. . 3 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) )
24		eqimss 3093	. . 3 |- ( dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
26		isstructr 11673	. 2 |- ( ( ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) /\ ( Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) /\ { <. A , X >. } e. _V /\ dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) ) ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1183	1 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 927   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   \ cdif 3010   C_ wss 3013   (/)c0 3302   {csn 3466   <.cop 3469   class class class wbr 3867   dom cdm 4467   Fun wfun 5043  (class class class)co 5690   <_ cle 7620   NNcn 8520   ZZcz 8848   ...cfz 9573   Struct cstr 11654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11660

This theorem is referenced by:  strle2g  11749  strle3g  11750  1strstrg  11756  srngstrd  11780  lmodstrd  11791