ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle1g Unicode version

Theorem strle1g 11748
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1g  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )

Proof of Theorem strle1g
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . . 4  |-  I  e.  NN
21nnrei 8529 . . . . 5  |-  I  e.  RR
32leidi 8060 . . . 4  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1124 . . 3  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
54a1i 9 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (
I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I ) )
6 difss 3141 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
7 strle1.a . . . . 5  |-  A  =  I
87, 1eqeltri 2167 . . . 4  |-  A  e.  NN
9 funsng 5094 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
108, 9mpan 416 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
11 funss 5068 . . 3  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
126, 10, 11mpsyl 65 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
13 opexg 4079 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  V )  -> 
<. A ,  X >.  e. 
_V )
148, 13mpan 416 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  <. A ,  X >.  e.  _V )
15 snexg 4040 . . 3  |-  ( <. A ,  X >.  e. 
_V  ->  { <. A ,  X >. }  e.  _V )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. }  e.  _V )
17 dmsnopg 4936 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. }  =  { A }
)
187sneqi 3478 . . . . 5  |-  { A }  =  { I }
191nnzi 8869 . . . . . 6  |-  I  e.  ZZ
20 fzsn 9629 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2119, 20ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( I ... I )  =  { I }
2218, 21eqtr4i 2118 . . . 4  |-  { A }  =  ( I ... I )
2317, 22syl6eq 2143 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. }  =  ( I ... I ) )
24 eqimss 3093 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  X >. }  =  ( I ... I )  ->  dom  { <. A ,  X >. }  C_  ( I ... I ) )
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) )
26 isstructr 11673 . 2  |-  ( ( ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  /\  {
<. A ,  X >. }  e.  _V  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )
275, 12, 16, 25, 26syl13anc 1183 1  |-  ( X  e.  V  ->  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   _Vcvv 2633    \ cdif 3010    C_ wss 3013   (/)c0 3302   {csn 3466   <.cop 3469   class class class wbr 3867   dom cdm 4467   Fun wfun 5043  (class class class)co 5690    <_ cle 7620   NNcn 8520   ZZcz 8848   ...cfz 9573   Struct cstr 11654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11660
This theorem is referenced by:  strle2g  11749  strle3g  11750  1strstrg  11756  srngstrd  11780  lmodstrd  11791
  Copyright terms: Public domain W3C validator