Theorem strle1g 13023

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I

Assertion

Ref	Expression
strle1g	|- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 |- I e. NN
2	1	nnrei 9075	. . . . 5 |- I e. RR
3	2	leidi 8588	. . . 4 |- I <_ I
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1178	. . 3 |- ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I )
5	4	a1i 9	. 2 |- ( X e. V -> ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) )
6		difss 3303	. . 3 |- ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. }
7		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
8	7, 1	eqeltri 2279	. . . 4 |- A e. NN
9		funsng 5334	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> Fun { <. A , X >. } )
10	8, 9	mpan 424	. . 3 |- ( X e. V -> Fun { <. A , X >. } )
11		funss 5304	. . 3 |- ( ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. } -> ( Fun { <. A , X >. } -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) ) )
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 |- ( X e. V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
13		opexg 4285	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ X e. V ) -> <. A , X >. e. _V )
14	8, 13	mpan 424	. . 3 |- ( X e. V -> <. A , X >. e. _V )
15		snexg 4239	. . 3 |- ( <. A , X >. e. _V -> { <. A , X >. } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } e. _V )
17		dmsnopg 5168	. . . 4 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = { A } )
18	7	sneqi 3650	. . . . 5 |- { A } = { I }
19	1	nnzi 9423	. . . . . 6 |- I e. ZZ
20		fzsn 10218	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> ( I ... I ) = { I } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( I ... I ) = { I }
22	18, 21	eqtr4i 2230	. . . 4 |- { A } = ( I ... I )
23	17, 22	eqtrdi 2255	. . 3 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) )
24		eqimss 3251	. . 3 |- ( dom { <. A , X >. } = ( I ... I ) -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( X e. V -> dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) )
26		isstructr 12932	. 2 |- ( ( ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) /\ ( Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) /\ { <. A , X >. } e. _V /\ dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) ) ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1252	1 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   C_ wss 3170   (/)c0 3464   {csn 3638   <.cop 3641   class class class wbr 4054   dom cdm 4688   Fun wfun 5279  (class class class)co 5962   <_ cle 8138   NNcn 9066   ZZcz 9402   ...cfz 10160   Struct cstr 12913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-struct 12919

This theorem is referenced by:  strle2g  13024  strle3g  13025  1strstrg  13033  srngstrd  13063  lmodstrd  13081  cnfldstr  14405