ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsfun Unicode version

Theorem setsfun 12499
Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( G sSet  <. I ,  E >. ) )

Proof of Theorem setsfun
StepHypRef Expression
1 funres 5259 . . . 4  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) ) )
21ad2antlr 489 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( G  |`  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) ) )
3 funsng 5264 . . . 4  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  ->  Fun  { <. I ,  E >. } )
43adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  {
<. I ,  E >. } )
5 dmres 4930 . . . . . 6  |-  dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  =  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  G )
65ineq1i 3334 . . . . 5  |-  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )
7 in32 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)
8 incom 3329 . . . . . . . 8  |-  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( dom 
{ <. I ,  E >. }  i^i  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) )
9 disjdif 3497 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. I ,  E >. }  i^i  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2198 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
1110ineq1i 3334 . . . . . 6  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  =  ( (/)  i^i 
dom  G )
12 0in 3460 . . . . . 6  |-  ( (/)  i^i 
dom  G )  =  (/)
137, 11, 123eqtri 2202 . . . . 5  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
146, 13eqtri 2198 . . . 4  |-  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
1514a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/) )
16 funun 5262 . . 3  |-  ( ( ( Fun  ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  /\  Fun  {
<. I ,  E >. } )  /\  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
172, 4, 15, 16syl21anc 1237 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
18 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  G  e.  V )
19 opexg 4230 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  -> 
<. I ,  E >.  e. 
_V )
2019adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  <. I ,  E >.  e.  _V )
21 setsvalg 12494 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  <.
I ,  E >.  e. 
_V )  ->  ( G sSet  <. I ,  E >. )  =  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
2218, 20, 21syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  ( G sSet  <. I ,  E >. )  =  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
2322funeqd 5240 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  ( Fun  ( G sSet  <. I ,  E >. )  <->  Fun  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) ) )
2417, 23mpbird 167 1  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( G sSet  <. I ,  E >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2739    \ cdif 3128    u. cun 3129    i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   dom cdm 4628    |` cres 4630   Fun wfun 5212  (class class class)co 5877   sSet csts 12462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sets 12471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator