ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsfun Unicode version

Theorem setsfun 12491
Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( G sSet  <. I ,  E >. ) )

Proof of Theorem setsfun
StepHypRef Expression
1 funres 5257 . . . 4  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) ) )
21ad2antlr 489 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( G  |`  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) ) )
3 funsng 5262 . . . 4  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  ->  Fun  { <. I ,  E >. } )
43adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  {
<. I ,  E >. } )
5 dmres 4928 . . . . . 6  |-  dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  =  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  G )
65ineq1i 3332 . . . . 5  |-  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )
7 in32 3347 . . . . . 6  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)
8 incom 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( dom 
{ <. I ,  E >. }  i^i  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) )
9 disjdif 3495 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. I ,  E >. }  i^i  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2198 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
1110ineq1i 3332 . . . . . 6  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  =  ( (/)  i^i 
dom  G )
12 0in 3458 . . . . . 6  |-  ( (/)  i^i 
dom  G )  =  (/)
137, 11, 123eqtri 2202 . . . . 5  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  G
)  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
146, 13eqtri 2198 . . . 4  |-  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
1514a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/) )
16 funun 5260 . . 3  |-  ( ( ( Fun  ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  /\  Fun  {
<. I ,  E >. } )  /\  ( dom  ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
172, 4, 15, 16syl21anc 1237 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
18 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  G  e.  V )
19 opexg 4228 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  -> 
<. I ,  E >.  e. 
_V )
2019adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  <. I ,  E >.  e.  _V )
21 setsvalg 12486 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  <.
I ,  E >.  e. 
_V )  ->  ( G sSet  <. I ,  E >. )  =  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
2218, 20, 21syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  ( G sSet  <. I ,  E >. )  =  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
2322funeqd 5238 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  ( Fun  ( G sSet  <. I ,  E >. )  <->  Fun  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) ) )
2417, 23mpbird 167 1  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W
) )  ->  Fun  ( G sSet  <. I ,  E >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127    i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592   <.cop 3595   dom cdm 4626    |` cres 4628   Fun wfun 5210  (class class class)co 5874   sSet csts 12454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sets 12463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator