Theorem setsfun 12982

Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun	|- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( G sSet <. I , E >. ) )

Proof of Theorem setsfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5331	. . . 4 |- ( Fun G -> Fun ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
2	1	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
3		funsng 5339	. . . 4 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> Fun { <. I , E >. } )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun { <. I , E >. } )
5		dmres 4999	. . . . . 6 |- dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G )
6	5	ineq1i 3378	. . . . 5 |- ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) i^i dom { <. I , E >. } )
7		in32 3393	. . . . . 6 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom G )
8		incom 3373	. . . . . . . 8 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) )
9		disjdif 3541	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = (/)
10	8, 9	eqtri 2228	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
11	10	ineq1i 3378	. . . . . 6 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) = ( (/) i^i dom G )
12		0in 3504	. . . . . 6 |- ( (/) i^i dom G ) = (/)
13	7, 11, 12	3eqtri 2232	. . . . 5 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
14	6, 13	eqtri 2228	. . . 4 |- ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) )
16		funun 5334	. . 3 |- ( ( ( Fun ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) /\ Fun { <. I , E >. } ) /\ ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) ) -> Fun ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
17	2, 4, 15, 16	syl21anc 1249	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
18		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> G e. V )
19		opexg 4290	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> <. I , E >. e. _V )
20	19	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> <. I , E >. e. _V )
21		setsvalg 12977	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ <. I , E >. e. _V ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
22	18, 20, 21	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
23	22	funeqd 5312	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( Fun ( G sSet <. I , E >. ) <-> Fun ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) ) )
24	17, 23	mpbird 167	1 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( G sSet <. I , E >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   u. cun 3172   i^i cin 3173   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   dom cdm 4693   |` cres 4695   Fun wfun 5284  (class class class)co 5967   sSet csts 12945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sets 12954

This theorem is referenced by: (None)