Theorem setsfun 13365

Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun	|- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( G sSet <. I , E >. ) )

Proof of Theorem setsfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5413	. . . 4 |- ( Fun G -> Fun ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
2	1	ad2antlr 493	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
3		funsng 5422	. . . 4 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> Fun { <. I , E >. } )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun { <. I , E >. } )
5		dmres 5079	. . . . . 6 |- dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G )
6	5	ineq1i 3428	. . . . 5 |- ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) i^i dom { <. I , E >. } )
7		in32 3443	. . . . . 6 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom G )
8		incom 3421	. . . . . . . 8 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) )
9		disjdif 3596	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = (/)
10	8, 9	eqtri 2259	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
11	10	ineq1i 3428	. . . . . 6 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) = ( (/) i^i dom G )
12		0in 3558	. . . . . 6 |- ( (/) i^i dom G ) = (/)
13	7, 11, 12	3eqtri 2263	. . . . 5 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
14	6, 13	eqtri 2259	. . . 4 |- ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) )
16		funun 5417	. . 3 |- ( ( ( Fun ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) /\ Fun { <. I , E >. } ) /\ ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) ) -> Fun ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
17	2, 4, 15, 16	syl21anc 1277	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
18		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> G e. V )
19		opexg 4363	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> <. I , E >. e. _V )
20	19	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> <. I , E >. e. _V )
21		setsvalg 13360	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ <. I , E >. e. _V ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
22	18, 20, 21	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
23	22	funeqd 5394	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( Fun ( G sSet <. I , E >. ) <-> Fun ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) ) )
24	17, 23	mpbird 167	1 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( G sSet <. I , E >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3705   <.cop 3708   dom cdm 4769   |` cres 4771   Fun wfun 5366  (class class class)co 6075   sSet csts 13328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sets 13337

This theorem is referenced by: (None)