Theorem funsng 5301

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvsn 5300	. 2 ⊢ Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩}
2		cnvsng 5152	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	3	funeqd 5277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5	1, 4	mpbii 148	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3619  ⟨cop 3622  ^◡ccnv 4659  Fun wfun 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-fun 5257

This theorem is referenced by:  fnsng  5302  funsn  5303  funprg  5305  funtpg  5306  setsfun  12656  setsfun0  12657  strle1g  12727  1strbas  12738